MathPhysics
Iskusan
- Poruka
- 5.328
Zadatku možemo pristupiti čistom logikom, bez naročitog pozivanja na Dirihleov princip ili bilo šta slično.
Pošto piše da treba da bude ne manje od 10, znači da treba da postoje bar 10 loptica koje su iste boje među onim brojem koje izvučemo.
Ako bi izvukli svih 70 taj uslov bi sigurno bio ispunjen. I za 60 izvučenih loptica takođe. Ali koliko najmanje loptica treba da izvučemo da bismo bili sasvim sigurni da je među izvučenim sigurno 10 iste boje?
Pre svega, da ponovimo, imamo 20 crvenih, 20 žutih, 20 plavih i 10 crnih. Ako izvučemo recimo 20, može biti da je među datim kuglicama prisutno 5 plavih, 5 žutih, 5 crnih, 5 crvenih... Samim tim mi onda nismo sigurni da imamo 10 kuglica iste boje.
Za 36 moguće je još uvek izvučeno po 9 kuglica datih boja. Ako među izvučenim kuglicama ima jedna više (tj. ako ih je ukupno 37), onda je bar jedna boja zastupljena sa 10 kuglica.
Dakle, neka je izvučeno x plavih, y žutih, z zelenih, m crvenih kuglica (nije bitan redosled, uglavnom svakoj boji pridružujemo simbol).
Njihov ukupan broj je onda x+y+z+m. Neka je x<10, y<10, z<10 (x, y ,z su naravno, prirodni brojevi). To znači da je maksmialna vrednost zbira x+y+z=27. Kako bi po uslovu zadatka važilo m>=10 onda bi minimalna vrednost x+y+z+m za koju je ispunjen uslov zadatka 37.
Ovo sam sve verovatno komplikovano rekao, a u stvari je jako prosto. Znači ako bi izvukla 36 kuglica, onda ti nisi sigurna da postoji 10 koje su iste boje, jer moguće da od svake boje postoji po 9 kuglica. Ali ako ti izvučeš 37 kuglica, onda si sasvim sigurna da ćeš imati 10 kuglica iste boje, jer ako su tri boje zastupljene sa po 9 kuglica onda je treća sa 10, ako je jedna od te tri zastupljena sa više od 9, onda je uslov zadatka opet ispunjen.
Kada je reč o Dirihleovom principu, on se ogleda u činjenici da kada n * k + 1 objekata rasporediš u k skupova, onda u jednom od njih mora biti bar n+1 objekat. U konkretnom slučaju, treba da rasporediš 37= 9 * 4 + 1 objekata u 4 skupa (n=9, k=4) (tj. ovih 37 kuglica po boji razvrstavaš u četiri skupa), znači da će postojati skup kuglica sa n+1 odnosno 9+1=10 objekata.
Još jednom, pošto postoji 4 boje kuglica onda je k=4 (4 skupa kuglica raznih boja). U jednom od skupova mora biti 10 elemenata, pa iz n+1=10 sledi n=9. Otuda je ukupan broj kuglica tada n*k +1 = 9*4+1 =37.
Pošto piše da treba da bude ne manje od 10, znači da treba da postoje bar 10 loptica koje su iste boje među onim brojem koje izvučemo.
Ako bi izvukli svih 70 taj uslov bi sigurno bio ispunjen. I za 60 izvučenih loptica takođe. Ali koliko najmanje loptica treba da izvučemo da bismo bili sasvim sigurni da je među izvučenim sigurno 10 iste boje?
Pre svega, da ponovimo, imamo 20 crvenih, 20 žutih, 20 plavih i 10 crnih. Ako izvučemo recimo 20, može biti da je među datim kuglicama prisutno 5 plavih, 5 žutih, 5 crnih, 5 crvenih... Samim tim mi onda nismo sigurni da imamo 10 kuglica iste boje.
Za 36 moguće je još uvek izvučeno po 9 kuglica datih boja. Ako među izvučenim kuglicama ima jedna više (tj. ako ih je ukupno 37), onda je bar jedna boja zastupljena sa 10 kuglica.
Dakle, neka je izvučeno x plavih, y žutih, z zelenih, m crvenih kuglica (nije bitan redosled, uglavnom svakoj boji pridružujemo simbol).
Njihov ukupan broj je onda x+y+z+m. Neka je x<10, y<10, z<10 (x, y ,z su naravno, prirodni brojevi). To znači da je maksmialna vrednost zbira x+y+z=27. Kako bi po uslovu zadatka važilo m>=10 onda bi minimalna vrednost x+y+z+m za koju je ispunjen uslov zadatka 37.
Ovo sam sve verovatno komplikovano rekao, a u stvari je jako prosto. Znači ako bi izvukla 36 kuglica, onda ti nisi sigurna da postoji 10 koje su iste boje, jer moguće da od svake boje postoji po 9 kuglica. Ali ako ti izvučeš 37 kuglica, onda si sasvim sigurna da ćeš imati 10 kuglica iste boje, jer ako su tri boje zastupljene sa po 9 kuglica onda je treća sa 10, ako je jedna od te tri zastupljena sa više od 9, onda je uslov zadatka opet ispunjen.
Kada je reč o Dirihleovom principu, on se ogleda u činjenici da kada n * k + 1 objekata rasporediš u k skupova, onda u jednom od njih mora biti bar n+1 objekat. U konkretnom slučaju, treba da rasporediš 37= 9 * 4 + 1 objekata u 4 skupa (n=9, k=4) (tj. ovih 37 kuglica po boji razvrstavaš u četiri skupa), znači da će postojati skup kuglica sa n+1 odnosno 9+1=10 objekata.
Još jednom, pošto postoji 4 boje kuglica onda je k=4 (4 skupa kuglica raznih boja). U jednom od skupova mora biti 10 elemenata, pa iz n+1=10 sledi n=9. Otuda je ukupan broj kuglica tada n*k +1 = 9*4+1 =37.
Poslednja izmena:
Hvala
