Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[MathPhysics]

Pokušaću školski da objasnim, a ako nisam u pravu neka me neko ispravi.
Stepenovanjem broja 2003, ponavljaju se poslednje cifre 9, 7, 1, 3. Dakle, 500 puta će se te cifre ponavljati, (2000:4+3) a zatim slede još 3 cifre. Po mom razmišljanju, rešenje je 1.

Moglo bi i tako da se razmišlja, ali grešiš u tome što se stepeni javljaju redom 3,9,7,1, a ne 9,7,3,1 ako se krene od jedinice. Tj. 2003[SUP]1[/SUP] se završava sa 3, pa 2003[SUP]2[/SUP] sa 9 itd. Periodično se ponavljaju grupe od po četiri cifre pri kraju stepena kao što si i uočila, ali se onda 2001 stepen završava sa 3, jer 500*4+1, a 2002 onda sa 9, a 2003 sa 7.

 

[MathPhysics]

Jedno onako laičko pitanje - stidim se sto ovo ne znam. Da li arctg(-1) ima vrednost -pi/4 ili -pi/4 + k*pi? Tj, da li kod arkusa uzimam i period u obzir?

Ne. Što je i poenta uvođenja inverznih trigonometrijsih funkcija. Kao što verovatno znaš, samo bijektivnom preslikavanju možemo odrediti inverznu funkciju. Trgonometrijske funkcije nisu bijektivne na celom svom domenu (skup realnih brojeva), pa se inverzne funkcije definišu baš tako što se ograničava domen trigonometriske funkcije na interval širine pi [-pi/2, pi/2], samim tim i kodomen i inverzne funkcije.

 

[Nina.Math]

Moglo bi i tako da se razmišlja, ali grešiš u tome što se stepeni javljaju redom 3,9,7,1, a ne 9,7,3,1 ako se krene od jedinice. Tj. 2003[SUP]1[/SUP] se završava sa 3, pa 2003[SUP]2[/SUP] sa 9 itd. Periodično se ponavljaju grupe od po četiri cifre pri kraju stepena kao što si i uočila, ali se onda 2001 stepen završava sa 3, jer 500*4+1, a 2002 onda sa 9, a 2003 sa 7.

U pravu si, nisam obratila pažnju, na brzinu sam uradila zadatak.
Ispravka
Pokušaću školski da objasnim, a ako nisam u pravu neka me neko ispravi.
Stepenovanjem broja 2003, ponavljaju se poslednje cifre 3, 9, 7, 1. Dakle, 500 puta će se te cifre ponavljati, (2000:4+3) a zatim slede još 3 cifre. Po mom razmišljanju, rešenje je 7.

 

[Paganko]

Ne. Što je i poenta uvođenja inverznih trigonometrijsih funkcija. Kao što verovatno znaš, samo bijektivnom preslikavanju možemo odrediti inverznu funkciju. Trgonometrijske funkcije nisu bijektivne na celom svom domenu (skup realnih brojeva), pa se inverzne funkcije definišu baš tako što se ograničava domen trigonometriske funkcije na interval širine pi [-pi/2, pi/2], samim tim i kodomen i inverzne funkcije.

Tačno tako.

arctg(x) preslikava skup R na interval [-pi/2, pi/2].

Međutim, zavisno od smisla zadatka, ipak se može reći koji je ugao u pitanju, pod uslovom da poznajemo znak sinusa i kosinusa. Na primer, neka je sin(x) > 0 i cos(x)<0 i neka je tg(x)=-1 mi znamo da je u pitanju II kvadrant na osnovu znaka sinusa i kosinusa, pa je traženi ugao 3pi/4+2k*pi, pošto uslove zadatka zadovoljava svaki takav ugao.

U programiranju je ovo rešeno uvođenjem funkcije arctg2(x), koja je definisana nad celim intervalom od 0 do 2pi, a x shodno tome mora biti racionalan broj oblika p/q.

Tako radi ovaj moj Holov senzor s kojim se zanimam već danima. Meri x i y komponete vektora magnetske indukcije rotirajućeg magneta, i potom računa ugao pod kojim se magnet nalazi u odnosu na sezor kao arctg2(x/y). Ja na kraju procesa dobijam sasvim finu informaciju o uglu nad punim intervalom od 0 do 360deg, a potom prostim diferenciranjem i brzinu, kao i relativan ugaoni pomeraj.

 

[Миша]

Jedno onako laičko pitanje - stidim se sto ovo ne znam. Da li arctg(-1) ima vrednost -pi/4 ili -pi/4 + k*pi? Tj, da li kod arkusa uzimam i period u obzir?

Тј. arctg(-1) је -pi/4 и то је то.

1) 2003^2003 (2003 na 2003) pitanje je koja je poslednja cifra ovog broja, meni je ispalo 7 ali trebalo mi je dosta vremena i nisam ni sigurna je l' tacan rezultat pa ako neko zna neki jednostavniji nacin da mi javi, bilo bi divno jer necu imati toliko vremena na prijemnom. Hvala

Овде је срећна околност што се тражи модуло 10.

Из особина мудула следи да је (2003[SUP]2003[/SUP] mod 10) исто што и:

(2003 mod 10)[SUP]2003[/SUP] mod 10
= 3[SUP]2003[/SUP] mod 10.

Пошто се у овим производима прва цифра ротира на сваких десет умножака, све је еквивалентно 3[sup]2003 mod 10[/sup] mod 10 = 3[sup]3[/sup] mod 10 = 27 mod 10 = 7.

 

[MILANAG]

Hvala vam, bas mi pomazete
Evo jos par i nema vise sutra idem na prijemni :O ...

1) Na teniskom turniru ucestvuje 2[SUP]n[/SUP] takmicara. Turnir se igra po kup-sistemu tj u naredno kolo se plasira pobednik u mecu a porazeni ispada iz daljeg takmicenja. Svaki mec se igra po tri dobijena seta, odnosno, pobedjuje igrac koji prvi dobije tri seta. Poznato je da na celom turniru odigrano ukupno 2[SUP]n+1[/SUP] + 4n[SUP]2[/SUP] + 184 setova. Broj takmicara na turniru je?

2)oko polulopte poluprecnika r opisana je prava kupa minimalne zapremine cija je osnova u ravni osnove polulopte. Zapremina kupe iznosi?
(ovde predpostavljam trebaju izvodi pa da se ne mucite dajte mi samo ideju pa cu pokusati sama... tj. nejasno mi je da li je r polulopte ustvari r kupe i kako da izratim H?)

3) Ako imam zadatak sin2x=sinx i trebam resenja u intervalu (-6.6) da li ja ovde trebam da suzim interval na (-1,1) s obzirom da je sinus tu definisan O.o
O.o

 

[MathPhysics]

3) Ako imam zadatak sin2x=sinx i trebam resenja u intervalu (-6.6) da li ja ovde trebam da suzim interval na (-1,1) s obzirom da je sinus tu definisan O.o
O.o

Naravno da ne. Sinus je definisan na celom skupu realnih brojeva. Kodomen je [-1,1], dok domen sinusne finkcije nije ograničen na taj interval.

Rešava se pomoću sin 2x = 2 sin x * cos x, odakle je 2sinx cos x -sin x=0, odnosno sin x(2cos x -1)=0, pa je ili sin x=0 ili cos x=1/2. Dalje znaš i sama.

 

[Paganko]

Naravno da ne. Sinus je definisan na celom skupu realnih brojeva. Kodomen je [-1,1], dok domen sinusne finkcije nije ograničen na taj interval.

Rešava se pomoću sin 2x = 2 sin x * cos x, odakle je 2sinx cos x -sin x=0, odnosno sin x(2cos x -1)=0, pa je ili sin x=0 ili cos x=1/2. Dalje znaš i sama.

Domen sin(x) je ceo skup R.

Kocizno zapisano funkcija sin je preslikavanje skupa R na interval [-1,1].
Kosinus takođe.

E kod tangensa se stvari malo komplikuju. Tangens preslikava skup R bez članova (2k+1)Pi/2 na ceo skup R... U tim tačkama koje su izuzete tangens je beskonačan (neodređen).

 

[MathPhysics]

1) Na teniskom turniru ucestvuje 2[SUP]n[/SUP] takmicara. Turnir se igra po kup-sistemu tj u naredno kolo se plasira pobednik u mecu a porazeni ispada iz daljeg takmicenja. Svaki mec se igra po tri dobijena seta, odnosno, pobedjuje igrac koji prvi dobije tri seta. Poznato je da na celom turniru odigrano ukupno 2[SUP]n+1[/SUP] + 4n[SUP]2[/SUP] + 184 setova. Broj takmicara na turniru je?

Možda postoji i jednostavnije rešenje od ovog mog, ali evo kako sam ja došao do rezultata.

Ako u početku postoji 2[SUP]n[/SUP] igrača u sledeći krug prolazi polovina, odnosno 2[SUP]n-1[/SUP], pa u naredni 2[SUP]n-2[/SUP], itd. sve do poslednjeg kola u kojem su prisutna dva igrača.

U svakom kolu se odigra onoliko utakmica koliko je učesnika sledećeg kruga, pa zato je ukupan broj odigranih utakmica jednak toj sumi plus finale:
2[SUP]n-1[/SUP]+2[SUP]n-2[/SUP]+2[SUP]n-3[/SUP]+...+1

Ovo je geometrijski niz sa početnim članom 2[SUP]n-1[/SUP] i q=1/2.

Suma članova ovog nza je a[SUB]1[/SUB]*(1-q[SUP]n[/SUP])/(1-q), odnosno ovde:
2*2[SUP]n-1[/SUP]*(1-2[SUP]-n[/SUP]), odakle je ta suma:
2[SUP]n[/SUP](1-2[SUP]-n[/SUP])=2[SUP]n[/SUP]-1

Dakle na turniru je odigrano 2[SUP]n[/SUP]-1 utakmica.

Na jednoj utakmici može biti odirano najmanje 3, a najviše 5 setova.

Ukupan broj setova je prema tome u intervalu [3(2[SUP]n[/SUP]-1),5(2[SUP]n[/SUP]-1), odnosno važi:
2[SUP]n+1[/SUP] + 4n[SUP]2[/SUP] + 184>=3(2[SUP]n[/SUP]-1)
2[SUP]n+1[/SUP] + 4n[SUP]2[/SUP] + 184<=5(2[SUP]n[/SUP]-1)

Ovo se može pisati u obliku:
2*2[SUP]n[/SUP]+4n[SUP]2[/SUP]+184>=3*2[SUP]n[/SUP]-3
2*2[SUP]n[/SUP]+4n[SUP]2[/SUP]+184<=5*2[SUP]n[/SUP]-5

Odakle:
2[SUP]n[/SUP]-4n[SUP]2[/SUP]-187<=0
3*2[SUP]n[/SUP]-4n[SUP]2[/SUP]-189>=0

Iz prve se zaključuje da je n<9, a iz druge da je n>7. Prema tome n=8.

Kao što rekoh, verovatno postoji i jednostavniji pristup.

 

[m_knezevic]

da li može neko da mi objasni detaljno linearnu (ne)zavisnost vektora?

šta ovo tačno znači?

i) Ako je k1=k2=…=kn , onda su vektori 1 x[SUB]1[/SUB] , 2 x[SUB]2[/SUB] ,…, n x[SUB]n[/SUB] linearno nezavisni
ii) Ako je bar jedan od k1,k2,…,kn različit od nule onda su vektori 1 x[SUB]1[/SUB] , 2 x[SUB]2[/SUB] ,…, n x[SUB]n[/SUB] linearno zavisni

 

[Paganko]

da li može neko da mi objasni detaljno linearnu (ne)zavisnost vektora?

šta ovo tačno znači?

i) Ako je k1=k2=…=kn , onda su vektori 1 x[SUB]1[/SUB] , 2 x[SUB]2[/SUB] ,…, n x[SUB]n[/SUB] linearno nezavisni
ii) Ako je bar jedan od k1,k2,…,kn različit od nule onda su vektori 1 x[SUB]1[/SUB] , 2 x[SUB]2[/SUB] ,…, n x[SUB]n[/SUB] linearno zavisni

To ne znači ništa. Ukratko, dva ili više vektroa su linearno zavisni ako jedan možeš da zapišeš kao linearnu kombinaciju ostalih.

Primer:

a=[1,2,3]
b=[4,5,6]
c=[2,4,6]

pitanje je da li postoje takvi skalari k1,k2 i k3 da je

k1a=k2b+k3c

što je ekvivalentno sa:

0=k1a+k2b+k3c

ovo se razlaže na:

k1+4k2+3k3=0
2k1+5k2+4k3=0
3k1+6k2+6k3=0

Sada rešimo sistem jednačina i dobijemo:

a) jedinstveno rešenje
b) nema rešenja
c) sistem je jednostruko ili dvostruko neodređen

Za prvi slučaj imamo da su vektori zavisni, a pošto ih ima tri to znači da su koplanarni (pripadaju istoj ravni).

U drugom slučaju, vektori su nezavisni.

A u trećem slučaju imamo 2 ili tri vektora koji su kolinearni (pravci im se poklapaju)
----------------------
Kad bi neko rešio sistem, mislim da bi dobio jednostruko neodeđen sistem, pošto su a i c kolinearni (c=2*a) a vektor b je nezavisan.

 

[Baraba na kvadrat]

Kaze, u ravni je dat ugao pOq=60 i u njegovoj oblasti uocena je tacka A koja je od ose Op udaljena 1cm a od ose Oq udaljena 2cm . Kolika je duzina duze OA ?

Evo dokle sam stigao i dalje slajfujem , presipam iz supljeg u prazno . Dosao sam od zakljucka da je ugao DAC (gde su tacke D i C dodirne tacke projekcije tacke A na ose Op i Oq redom) = 120 stepeni . Odnosno da je cetvorotugao ODAC tetivan (zbir naspramnih uglova je jednak) . Dalje sam iz kosinusne teoreme dosao do toga da je DC= sqrt(7) i to je jedna dijagonala , ovu drugu nemam pojma kako da nadjem . Tj pokusavao sam nesto ali bezuspesno ? Kad bih nasao OD i OC moj problem bi bio mahom resen, ali kako da ih nadjem ?

 

[Baraba na kvadrat]

Kaze, u ravni je dat ugao pOq=60 i u njegovoj oblasti uocena je tacka A koja je od ose Op udaljena 1cm a od ose Oq udaljena 2cm . Kolika je duzina duze OA ?

Evo dokle sam stigao i dalje slajfujem , presipam iz supljeg u prazno . Dosao sam od zakljucka da je ugao DAC (gde su tacke D i C dodirne tacke projekcije tacke A na ose Op i Oq redom) = 120 stepeni . Odnosno da je cetvorotugao ODAC tetivan (zbir naspramnih uglova je jednak) . Dalje sam iz kosinusne teoreme dosao do toga da je DC= sqrt(7) i to je jedna dijagonala , ovu drugu nemam pojma kako da nadjem . Tj pokusavao sam nesto ali bezuspesno ? Kad bih nasao OD i OC moj problem bi bio mahom resen, ali kako da ih nadjem ?

Dva pravougla trougla maybe ?

 

[MathPhysics]

U oblasti između krakova, odnosno polupravih Op i Oq odaberi tačku A. Normala iz te tačke na Op i na Oq. One su dužine 1 i 2.Neka je B tačka u kojoj ta normala dodiruje krak Op, a sad, produži duž AB do kraka Oq. Neka je tu presečna tačka na tom kraku D. Norama na Oq seče taj krak u tački C. Posmatraj trougao ACD. Ugao ADC je jasno 30 stepeni, a CAD 60 stepeni. Pošto je AC=2, sledi da AD=4, a BD=4+1=5. Onda primeti trougao ODB čiji su uglovi kao i u ACD. Odatle je jasno da je OB=5sqrt(3), a onda je dalje, iz trougla OAB OA= sqrt(76).

 

[Baraba na kvadrat]

U oblasti između krakova, odnosno polupravih Op i Oq odaberi tačku A. Normala iz te tačke na Op i na Oq. One su dužine 1 i 2.Neka je B tačka u kojoj ta normala dodiruje krak Op, a sad, produži duž AB do kraka Oq. Neka je tu presečna tačka na tom kraku D. Norama na Oq seče taj krak u tački C. Posmatraj trougao ACD. Ugao ADC je jasno 30 stepeni, a CAD 60 stepeni. Pošto je AC=2, sledi da AD=4, a BD=4+1=5. Onda primeti trougao ODB čiji su uglovi kao i u ACD. Odatle je jasno da je OB=5sqr(3), a onda je dalje, iz trougla OAB OA= sqrt(76).

Jer ovo trebalo da bude 5/sqrt(3) jer ja tako dobijam ?

 

[MathPhysics]

Ne. U OBD trouglu ugao OBD je prav, ODB 30 stepeni, preostali 60. Zato je OD=2BD=2*5=10. Onda je OB=OD sqrt(3)/2 =5 sqrt(3).

 

[Baraba na kvadrat]

Ne. U OBD trouglu ugao OBD je prav, ODB 30 stepeni, preostali 60. Zato je OD=2BD=2*5=10. Onda je OB=OD sqrt(3)/2 =5 sqrt(3).

Aham, ja sam drugacije obelezio . Pardon

 

[m_knezevic]

To ne znači ništa. Ukratko, dva ili više vektroa su linearno zavisni ako jedan možeš da zapišeš kao linearnu kombinaciju ostalih.

Primer:

a=[1,2,3]
b=[4,5,6]
c=[2,4,6]

pitanje je da li postoje takvi skalari k1,k2 i k3 da je

k1a=k2b+k3c

što je ekvivalentno sa:

0=k1a+k2b+k3c

ovo se razlaže na:

k1+4k2+3k3=0
2k1+5k2+4k3=0
3k1+6k2+6k3=0

Sada rešimo sistem jednačina i dobijemo:

a) jedinstveno rešenje
b) nema rešenja
c) sistem je jednostruko ili dvostruko neodređen

Za prvi slučaj imamo da su vektori zavisni, a pošto ih ima tri to znači da su koplanarni (pripadaju istoj ravni).

U drugom slučaju, vektori su nezavisni.

A u trećem slučaju imamo 2 ili tri vektora koji su kolinearni (pravci im se poklapaju)
----------------------
Kad bi neko rešio sistem, mislim da bi dobio jednostruko neodeđen sistem, pošto su a i c kolinearni (c=2*a) a vektor b je nezavisan.

hvala! :-) nego, mi nisu jasne definicije kolinearnih i komplanarinih vektora, zapravo, nije mi jasna definicija komplanarnih:
Vektori x , y , z su komplanarni ako i samo ako su linearno zavisni (komplanarni znači da leže u istoj ravni).

ja bih rekao da ako su linearno nezavisni.

zašto? zato što mi u ovom slučaju (iz prave definicije) oni liče na kolinerane vektore, jer da bi bili linerano zavisni moraju biti i paralelni, što znači da je komplanaran=kolinearan (a to zapravo nije tako!)

 

[Миша]

Vektori x , y , z su komplanarni ako i samo ako su linearno zavisni (komplanarni znači da leže u istoj ravni).

ja bih rekao da ako su linearno nezavisni.

Копланарност три вектора a, b, c значи да се сва три налазе у истој равни. Пошто је за дефинисање равни потребно само два (неколинеарна) вектора (a и b нпр.), значи да би трећи могао да се представи као линеарна комбинација друга два тј. као c = \alpha a + \beta b. Због тога су и линеарно зависни.

 

[Миша]

Ne. U OBD trouglu ugao OBD je prav, ODB 30 stepeni, preostali 60. Zato je OD=2BD=2*5=10. Onda je OB=OD sqrt(3)/2 =5 sqrt(3).

Јок, ту нешто не штима. Ако је OBD=90°, ODB=30°, onda je BOD=60°.

Дакле, пошто је OBD половина једнакостраничног, важи да ти је BD = 2OB sqrt(3) / 2 тј. OB = BD / sqrt(3). Пошто си већ одредио да је BD = 5, онда је OB = 5 / sqrt(3), што значи да је

|OA| = sqrt( |AB|² + |OB|² ) = 2 sqrt(7/3)

 

[Paganko]

Копланарност три вектора a, b, c значи да се сва три налазе у истој равни. Пошто је за дефинисање равни потребно само два (неколинеарна) вектора (a и b нпр.), значи да би трећи могао да се представи као линеарна комбинација друга два тј. као c = \alpha a + \beta b. Због тога су и линеарно зависни.

Vektori su koplanarni ako leže u istoj ravni. Pri tome svaki ima neki svoj pravac i smer (različit od ostalih). A kolinearni vektori imaju isti pravac. Leže na istoj pravoj!!!

Sa jednim vektorom možemo definisati pravu (jedna dimenzija) Sa dva vektora možemo definsati ravan ako ta dva vektora nisu kolinearna. Komplanarni sigurno jesu, pošto postoji bar jedna ravan koja zadovoljava takav uslov. Tri vektora definišu 3D prostor, sem ako nisu komplanarni (tada 2 (proizvoljna) definišu ravan a treći je linearno zavistan od druga dva) ili ako su čak kolinearni, a tada leže na istoj pravoj, pa jedan(proizvoljan) definiše pravu, a druga dva su linearno zavisna od njega. Može naravno biti i treći slučaj: dva definišu ravan, a treći je kolinearan jednom od ta dva.

Probaj da nacrtaš svaki od ovih slučaja pa će ti biti jasnije.

Tri najpoznatija vektora koji definišu 3D prostor su pod uglom od 90deg jedan u odnosu na drugi, a definišu trodimenzioni Euklidov prostor R[sup]3[/sup]. Kad se nacrtaju i provuku prave kroz njih, dobije se Dekartov koordinatni sistem.

 

[MathPhysics]

Јок, ту нешто не штима. Ако је OBD=90°, ODB=30°, onda je BOD=60°.

Дакле, пошто је OBD половина једнакостраничног, важи да ти је BD = 2OB sqrt(3) / 2 тј. OB = BD / sqrt(3). Пошто си већ одредио да је BD = 5, онда је OB = 5 / sqrt(3), што значи да је

|OA| = sqrt( |AB|² + |OB|² ) = 2 sqrt(7/3)

Da, pomešao sam oznake. Uglavnom ideja je ta. Hvala na napomeni.

 

[Миша]

Немој мене да цитираш уз та објашњења, Паганко, може човек да помисли да му нисам лепо написао. Знаш ону... што је дужи текст, то је мање вероватно да ће имати жеље да га читају. Зато ако игнорише то моје јер си га "исправио", а за твоје каже да је његова исправка (значи, све је био у праву), ниш` му нисмо помогли.

 

[Paganko]

Немој мене да цитираш уз та објашњења, Паганко, може човек да помисли да му нисам лепо написао. Знаш ону... што је дужи текст, то је мање вероватно да ће имати жеље да га читају. Зато ако игнорише то моје јер си га "исправио", а за твоје каже да је његова исправка (значи, све је био у праву), ниш` му нисмо помогли.

Što ljudi uvek, ali u vek pomisle da ako ih neko citira, mora obavezno da kontrira onome što je u citatu. Naprotiv, sasvim se ja slažem, samo sam hteo da malo dopunim rečeno. A ako nekog mrzi da čita malo duža objašnjenja, džabe mu i kratka. Inače, ja držim do toga da 3 različita objašnjenja iste stvari u matematici nisu na odmet za pročitati. Što je jednom čoveku logično i razumljivo, drugom nije. Nekom pasuje jedan način objašnjavanja, nekom drugi.

Ako baš imaš fobiju od citata, mogu ja i da ga izbrišem iz posta, ali sumnjm da bi imalo ikakvu svrhu.

Aj pozdrav, vraćam se u OOP i TCP/IP...

 

[Миша]

Ја немам фобију од тога да ме цитираш. Не смета ми због тога што разумем шта пишеш. Али, као што си и сам приметио, то уме да се тумачи као контрирање, што нам није жељени ефекат на публикум. Заправо, може чак и да се цитира нешто са чиме се онај ко цитира слаже, али пре додатног објашњења може да се убаци "тачно" или сл. како неко мање вешт не би због предрасуда извукао погрешан закључак.