Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[Nina.Math]

Zadatak

Ceo broj n>1 se zove savršenim ako je zbir svih njegovih delilaca (uključujući 1 i n) jednak 2n. Naći sve savršene brojeve n takve da su n-1 i n+1 prosti brojevi.

 

[Realno Nerealan]

Ja izvod funkcije y = 3[SUP]x[/SUP] rešavam ovako:
y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = x ln 3
y' = 3[SUP]x[/SUP]*x ln 3
Da li je postupak dobar? Pošto sam ja video da se ti zadacisa x-om kao eksponentom rešavaju tako.

 

[Paganko]

Ja izvod funkcije y = 3[SUP]x[/SUP] rešavam ovako:
y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = x ln 3
y' = 3[SUP]x[/SUP]*x ln 3
Da li je postupak dobar? Pošto sam ja video da se ti zadacisa x-om kao eksponentom rešavaju tako.

Nije. Prvo, funkcija je tablična:

Drugo, ako već radiš logaritmovanjem:

y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = x ln 3
y' = 3[SUP]x[/SUP]*x ln 3

Zašto nisi uradio izvod i desne polovine? Terba da bude ovako:

y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = (x ln 3)'
y' = 3[SUP]x[/SUP] ln 3

 

[Realno Nerealan]

Nije. Prvo, funkcija je tablična:

Drugo, ako već radiš logaritmovanjem:

y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = x ln 3
y' = 3[SUP]x[/SUP]*x ln 3

Zašto nisi uradio izvod i desne polovine? Terba da bude ovako:

y = 3[SUP]x[/SUP]
ln y = ln 3[SUP]x[/SUP]
y'/y = (x ln 3)'
y' = 3[SUP]x[/SUP] ln 3

Jaooo tablični, da se ubijem, ladno sam zaboravio da je tablični, a znao sam ih sve. Doduše, nisam dugo izvode radio.

 

[Paganko]

Pa na pravi način si krenuo da ga radiš, tako se i izvodi pravilo za taj oblik. Samo nisi derivirao i desnu polovinu, pa si dobio pogrešno rešenje na kraju.

Inače: prošetaj do ovog linka....

http://forum.krstarica.com/showthre...sopisi...)?p=18156143&viewfull=1#post18156143

knjige su na drugoj temi, pa o tome možemo tamo nastaviti. Ovde idu zadaci i slična problematika.

 

[MathPhysics]

Zadatak

Ceo broj n>1 se zove savršenim ako je zbir svih njegovih delilaca (uključujući 1 i n) jednak 2n. Naći sve savršene brojeve n takve da su n-1 i n+1 prosti brojevi.

Brojevi n=2 i n=3 nisu savršeni. Za n>3, ako su n-1 i n+1 prosti oni su i neparni, pa je n paran broj. Parni savršeni brojevi, osim šestice, pri deljenju sa 9 daju ostatak 1. Ako je n savršen paran broj veći od 6 onda mu ostatak pri deljenju sa 9 iznosi 1, ali je onda n-1 deljivo sa 9, što je nemoguće, jer je taj broj prost. Prema tome jedini takav broj je 6.

 

[Nina.Math]

Brojevi n=2 i n=3 nisu savršeni. Za n>3, ako su n-1 i n+1 prosti oni su i neparni, pa je n paran broj. Parni savršeni brojevi, osim šestice, pri deljenju sa 9 daju ostatak 1. Ako je n savršen paran broj veći od 6 onda mu ostatak pri deljenju sa 9 iznosi 1, ali je onda n-1 deljivo sa 9, što je nemoguće, jer je taj broj prost. Prema tome jedini takav broj je 6.

Ja sam na drugačiji način radila, ali rešenje je isto.
Postavka

I slučaj
6
=2*3
=1*6

Dakle, 1+2+3+6=12=2n

II slučaj
Ako pretpostavimo da je n>6, tada mora da važi da je n=6k za prirodan proj k.
Zbir svih delilaca veći je ili jednak od 1+k+2k+3k+6k=12k+1>2n
Prema tome, zaključujemo da n>6 nije izvodljivo, tj. ne postoje savršeni brojevi veći od 6.

 

[MathPhysics]

Savršenih brojeva većih od 6 ima dosta. Ne zna se koliko, ali ne tako malo.

Greška u tvom dokazu, odnosno njegovom drugom delu, je što tvrdiš da savršen broj mora biti oblika 6k. To uopšteno ne važi.

Mada, ako dokažeš da savršen broj iz ovog zadatka ima ta svojstva, onda ti rešenje ima dosta smisla.

A to možeš učiniti ovako. Neka je n>6 savršen broj. Takav broj se završava ili cifrom 6 ili cifrom 8. Ako se završava cifrom 6, onda je n-1 deljivo sa 5, a znamo da je taj broj prost, pa otuda sledi da se takav savršen broj, ako postoji, završava sa cifrom 8. Zbir cifara tog broja je onda a+8, gde je a neki prirodan broj. Otuda je zbir cifara brojeva n+1 i n-1, a+9 i a+7respektivno. Pošto je n-1 prost broj a+7 nije deljivo sa 3, što dalje znači ili je a+9 deljivo sa 3 ili je ostatak pri tom deljenju jedan. Prvi slučaj je nemoguć, jer je n+1 prost broj, pa je otuda n deljivo sa 3. Već smo pokazali da je takav savršen broj paran, pa otuda je deljiv i sa 3 i sa 2, odnosno deljiv sa 6.

 

[Nina.Math]

Savršenih brojeva većih od 6 ima dosta. Ne zna se koliko, ali ne tako malo.

Greška u tvom dokazu, odnosno njegovom drugom delu, je što tvrdiš da savršen broj mora biti oblika 6k. To uopšteno ne važi.

Mada, ako dokažeš da savršen broj iz ovog zadatka ima ta svojstva, onda ti rešenje ima dosta smisla.

A to možeš učiniti ovako. Neka je n>6 savršen broj. Takav broj se završava ili cifrom 6 ili cifrom 8. Ako se završava cifrom 6, onda je n-1 deljivo sa 5, a znamo da je taj broj prost, pa otuda sledi da se takav savršen broj, ako postoji, završava sa cifrom 8. Zbir cifara tog broja je onda a+8, gde je a neki prirodan broj. Otuda je zbir cifara brojeva n+1 i n-1, a+9 i a+7respektivno. Pošto je n-1 prost broj a+7 nije deljivo sa 3, što dalje znači ili je a+9 deljivo sa 3 ili je ostatak pri tom deljenju jedan. Prvi slučaj je nemoguć, jer je n+1 prost broj, pa je otuda n deljivo sa 3. Već smo pokazali da je takav savršen broj paran, pa otuda je deljiv i sa 3 i sa 2, odnosno deljiv sa 6.

Ne bih se složila sa boldovanim tekstom.... Ja bih rekla da ne postiji nijedan savršen broj veći od 6. Prati sl. uslov i uvidećeš da ne postoje drugi savršeni brojevi.

Dakle, ako pretpostavimo da je n>6, tada mora da važi da je n=6k za prirodan proj k. (broj n, u ovom slučaju, mora biti deljiv sa 6)
Zbir svih delilaca veći je ili jednak od 1+k+2k+3k+6k=12k+1=2n+1>2n
Prema tome, zaključujemo da n>6 nije izvodljivo, tj. ne postoje savršeni brojevi veći od 6.

Hvala na napomeni. U pravu si, nisam posebno naglasila, ali sam u dokazu stavila to kao uslov, jer:
Ako je n veće od 6, za n mora da važi n=6k, tj. broj n mora da zadovoljava uslov da je deljiv sa 6.

Dakle, nisam posebno naglasila, ali sam naglasila kroz matematički dokaz.

U svakom slučaju, hvala, MathPhysics.

 

[Paganko]

Ne bih se složila sa boldovanim tekstom.... Ja bih rekla da ne postiji nijedan savršen broj veći od 6. Prati sl. uslov i uvidećeš da ne postoje drugi savršeni brojevi.

Dakle, ako pretpostavimo da je n>6, tada mora da važi da je n=6k za prirodan proj k. (broj n, u ovom slučaju, mora biti deljiv sa 6)
Zbir svih delilaca veći je ili jednak od 1+k+2k+3k+6k=12k+1=2n+1>2n
Prema tome, zaključujemo da n>6 nije izvodljivo, tj. ne postoje savršeni brojevi veći od 6.

Hvala na napomeni. U pravu si, nisam posebno naglasila, ali sam u dokazu stavila to kao uslov, jer:
Ako je n veće od 6, za n mora da važi n=6k, tj. broj n mora da zadovoljava uslov da je deljiv sa 6.

Dakle, nisam posebno naglasila, ali sam naglasila kroz matematički dokaz.

U svakom slučaju, hvala, MathPhysics.

Ova pretpostavka pada u vodu. 6, pa 28, pa 496 pa tako dalje.... Do danas je poznato 47 savršenih brojeva od kojih poslednji, najveći ima 25956377 cifara u svom decimalnom zapisu. Obzirom da već na osnovu provere da 28 =/= 6k, a da je 28 savršen, i ta pretpostavka pada u vodu. 28 nije ni deljiv sa 6. Ne znam ni odakle si zaključila da savršeni brojevi moraju biti deljivi sa 6. Ne moraju. To se nigde ne nameće kao uslov savršenosti. Zapravo, praviš grešku kada pretpostavljaš da postoji neka univerzalna formula za dobijanje savršenih brojeva, što nije tačno. Odnosno možda postoji, ali je teorija brojeva još nije otkrila.

 

[Paganko]

Savršenih brojeva većih od 6 ima dosta. Ne zna se koliko, ali ne tako malo.

Greška u tvom dokazu, odnosno njegovom drugom delu, je što tvrdiš da savršen broj mora biti oblika 6k. To uopšteno ne važi.

Mada, ako dokažeš da savršen broj iz ovog zadatka ima ta svojstva, onda ti rešenje ima dosta smisla.

A to možeš učiniti ovako. Neka je n>6 savršen broj. Takav broj se završava ili cifrom 6 ili cifrom 8. Ako se završava cifrom 6, onda je n-1 deljivo sa 5, a znamo da je taj broj prost, pa otuda sledi da se takav savršen broj, ako postoji, završava sa cifrom 8. Zbir cifara tog broja je onda a+8, gde je a neki prirodan broj. Otuda je zbir cifara brojeva n+1 i n-1, a+9 i a+7respektivno. Pošto je n-1 prost broj a+7 nije deljivo sa 3, što dalje znači ili je a+9 deljivo sa 3 ili je ostatak pri tom deljenju jedan. Prvi slučaj je nemoguć, jer je n+1 prost broj, pa je otuda n deljivo sa 3. Već smo pokazali da je takav savršen broj paran, pa otuda je deljiv i sa 3 i sa 2, odnosno deljiv sa 6.

Ovo bi već moglo biti dobro rešenje. Za brojeve koji se završavaju cifrom 6, dokaz je trivijalan. A za savršene brojeve koji se završavaju cifrom 8, hm, morao bih malo da se udubim, što posle noći pune pijančenja nije baš izvodljivo tako brzo.

 

[MathPhysics]

Ovo bi već moglo biti dobro rešenje. Za brojeve koji se završavaju cifrom 6, dokaz je trivijalan. A za savršene brojeve koji se završavaju cifrom 8, hm, morao bih malo da se udubim, što posle noći pune pijančenja nije baš izvodljivo tako brzo.

Mada mislim da postoji prostiji način. Jednostavno, naš savršen broj je između dva prosta, od kojih se svaki može napisati u nekom od obilka 6k+1 ili 6k-1. Lako se zaključuje da je n-1 oblika 6k-1, a n+1 oblika 6k. Otuda je n=6k.

 

[Nina.Math]

Ova pretpostavka pada u vodu. 6, pa 28, pa 496 pa tako dalje.... Do danas je poznato 47 savršenih brojeva od kojih poslednji, najveći ima 25956377 cifara u svom decimalnom zapisu. Obzirom da već na osnovu provere da 28 =/= 6k, a da je 28 savršen, i ta pretpostavka pada u vodu. 28 nije ni deljiv sa 6. Ne znam ni odakle si zaključila da savršeni brojevi moraju biti deljivi sa 6. Ne moraju. To se nigde ne nameće kao uslov savršenosti. Zapravo, praviš grešku kada pretpostavljaš da postoji neka univerzalna formula za dobijanje savršenih brojeva, što nije tačno. Odnosno možda postoji, ali je teorija brojeva još nije otkrila.

Verujem da nisi pažljivo pročitao zadatak, nego pratiš teoriju da je savršen broj onaj broj koji je jednak zbiru svojih delilaca (uključujući i jedinicu).
Da je ovo jedini uslov zadatka, tvoj pristup bio bi tačan, ali u zadatku je potrebno da se zadovolje sl. uslovi:
*Ceo broj n>1 se zove savršenim ako je zbir svih njegovih delilaca (uključujući 1 i n) jednak 2n
*Naći sve savršene brojeve n takve da su n-1 i n+1 prosti brojevi
Prvi uslov je zadovoljen, ali ne i drugi.

Zaista ne znam zbog čega pratiš već poznatu teoriju, a ne šta se traži u zadatku.
Želela bih da kažem da ovde nije potrebno pronaći već poznati navedeni savršeni broj http://sr.wikipedia.org/wiki/Савршен_броj , već je ovo zadatak sa juniorske balkanske matematičke olimpijede.

 

[Paganko]

Mada mislim da postoji prostiji način. Jednostavno, naš savršen broj je između dva prosta, od kojih se svaki može napisati u nekom od obilka 6k+1 ili 6k-1. Lako se zaključuje da je n-1 oblika 6k-1, a n+1 oblika 6k. Otuda je n=6k.

Genijalno jer je jednostavno.

 

[MathPhysics]

Ne bih se složila sa boldovanim tekstom.... Ja bih rekla da ne postiji nijedan savršen broj veći od 6. Prati sl. uslov i uvidećeš da ne postoje drugi savršeni brojevi.

Dakle, ako pretpostavimo da je n>6, tada mora da važi da je n=6k za prirodan proj k. (broj n, u ovom slučaju, mora biti deljiv sa 6)
Zbir svih delilaca veći je ili jednak od 1+k+2k+3k+6k=12k+1=2n+1>2n
Prema tome, zaključujemo da n>6 nije izvodljivo, tj. ne postoje savršeni brojevi veći od 6.

Hvala na napomeni. U pravu si, nisam posebno naglasila, ali sam u dokazu stavila to kao uslov, jer:
Ako je n veće od 6, za n mora da važi n=6k, tj. broj n mora da zadovoljava uslov da je deljiv sa 6.

Dakle, nisam posebno naglasila, ali sam naglasila kroz matematički dokaz.

U svakom slučaju, hvala, MathPhysics.

Savršeni brojevi su svi brojevi kojim je zbir delilaca jednak dvostrukoj vrednosti tog broja. Savršeni brojevi ne moraju da budu između dva prosta. Savršenim nazivamo onaj broj koji zadovoljava prethodno opisan uslov.

U zadatku ti se traži da od svih tih savršenih brojeva izdvojiš one koji su između dva prosta.

Savršeni su i 6 i 28 i 496 i mnogi drugi brojevi.

Međutim nisu svi "okruženi" prostim brojevima. Suština zadatka je da pokažeš da je 6 jedini u takvom "društvu".

To možeš učiniti na više načina, zavisno od čega kreneš. Recimo ako znaš da je ostatak pri deljenju savršenih brojeva sa 9 uvek 1 možeš doći do tog tvrđenja, što sam ja uradio u svom prvom odgovoru na tvoju poruku.

Može da se uradi i na tvoj način, ali moraš pokazati da svi savršeni brojevi koji su između dva prosta broja deljivi sa 6, tj. da su oblika 6k. Do toga možeš doći na neki od dva načina ponuđena u moja dva prethodna odgovora. Uz to, tvoj dokaz važi. Inače je nepotpun, jer predpostavljaš da su takvi savršeni brojevi oblika 6k, i ničim to ne dokazuješ. To zaista važi, tako da uz tu dopunu tvoj dokaz je dobar. Međutim ne i bez nje.

 

[Nina.Math]

Paganko, MathPhysics, hvala vam na detaljnom objašnjenju!
Iako moj dokaz nije potpun, komisija to ni ne može da očekuje od nas osnovaca, jer se takvi, složeni matematički dokazi uče tek u srednjoj školi.
Meni je, u suštini, bitno da u potpunosti shvatim zadatak i da znam sledelći put da primenim teoriju.

 

[Миша]

Додао бих још да непостојање непарних савршених бројева није показано (само се сматра веома мало вероватним), али је задатак такав да они (и да постоје) не би били интересантни за њега јер би били окружени парним бројевима.

 

[Paganko]

Paganko, MathPhysics, hvala vam na detaljnom objašnjenju!
Iako moj dokaz nije potpun, komisija to ni ne može da očekuje od nas osnovaca, jer se takvi, složeni matematički dokazi uče tek u srednjoj školi.
Meni je, u suštini, bitno da u potpunosti shvatim zadatak i da znam sledelći put da primenim teoriju.

Ja završio i srednju školu pa sam za savršene brojeve čuo tek na fakultetu od prof Rada Doroslovačkog. A i on ih samo onako uzgred pomenuo.

 

[MathPhysics]

Dobro je Nina, ideja je lepa, rešenje ti je korektno. Samo da si to malo lepše objasnila.

Za one naprednije...

Zadatak se može rešiti i imajući u vidu da su svi parni savršeni brojevi oblika:
2[SUP]p-1[/SUP](2[SUP]p[/SUP]-1), gde su p i 2[SUP]p[/SUP]-1 prosti brojevi.

Za p=2 dobija se vrednost 6, i taj broj je rešenje, što se pokazuje neposrednom proverom.

Treba pokazatii da ne postoji još rešenja. To se može učiniti ovako. Osim 2 svi prosti brojevi su neparni. Otuda je 2[SUP]p[/SUP] kongruentno -1, odnosno 2 po modulu 3, odnosno 2[SUP]p[/SUP]-1 kongruentno 1 po modulu 3. Takođe 2[SUP]p-1[/SUP] kongruentno 1 po modulu 3, pa je i 2[SUP]p-1[/SUP](2[SUP]p[/SUP]-1) kongruentno 1 po modulu 3.

Prema tome broj 2[SUP]p-1[/SUP](2[SUP]p[/SUP]-1) pri deljenju sa 3 daje ostatak 1. Međutim, pošto pri deljenju n ostatak deljenja sa 3 bude 1, sledi da je n-1 deljivo sa 3, što je nemoguće, jer je broj n-1 prost. Prema tome sledi da je rešenje samo broj 6.

 

[Nina.Math]

Додао бих још да непостојање непарних савршених бројева није показано (само се сматра веома мало вероватним), али је задатак такав да они (и да постоје) не би били интересантни за њега јер би били окружени парним бројевима.

Za parne brojeve smo već objasnili, a za neparne bi važilo:
Ako je p neparan, onda je 2p ≡ 2 (mod 3) i 2p-1 ≡ 1 (mod 3), pa je n-1 ≡ 0 (mod 3), i broj n-1 ne može da bude prost.

 

[MathPhysics]

Za parne brojeve smo već objasnili, a za neparne bi važilo:
Ako je p neparan, onda je 2p ≡ 2 (mod 3) i 2p-1 ≡ 1 (mod 3), pa je n-1 ≡ 0 (mod 3), i broj n-1 ne može da bude prost.

Nisam siguran da te razumem. Miša je u pravu.

 

[P.S.]

Pozdrav svima. Imam problem sa jednim zadatkom, pa ako neko zna neka napishe ovde kako se reshava. Hvala unapred
Poluprecnik kruga zadatog jednachinom x(na kvadrat)+y(na kvadrat)+4y+7/2-1/2x=0 je ????

Uff ja se izvinjavam doshlo je do greshke sad je ispravljeno

 

[MathPhysics]

Predpostavljam da je to sve jednako nuli. Pošto svakako nešto fali u tom zapisu. Ukoliko da...

x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+4y+7/2=0
x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+4y+4-1/2=0
x[SUP]2[/SUP]+(y+2)[SUP]2[/SUP]=1/2

Otuda je ovo krug sa poluprečnikom sqrt(1/2).

 

[MathPhysics]

Pozdrav svima. Imam problem sa jednim zadatkom, pa ako neko zna neka napishe ovde kako se reshava. Hvala unapred
Poluprecnik kruga zadatog jednachinom x(na kvadrat)+y(na kvadrat)+4y+7/2-1/2x=0 je ????

Uff ja se izvinjavam doshlo je do greshke sad je ispravljeno

Prema ovoj novoj postavci:
x[SUP]2[/SUP]-1/2 x +1/16 + y[SUP]2[/SUP]+4y+4 -1/16 -4 + 7/2 =0
(x-1/4)[SUP]2[/SUP]+(y+2)[SUP]2[/SUP]=9/16

Prema tome poluprečnik ove kružnice je sqrt(9/16)=3/4.

 

[madHitman]

Zdravo! Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:

Rešiti jednačinu: sqrt3((2+x)^2) + 4*sqrt3((2-x)^2) = 5*sqrt3(4-x^2).
Rešenja su : 0 i 126/65.

Unapred zahvalan.