Zapremina paralelopipeda čije su sve strane rombovi sa oštrim uglom od 60° je 4*sqrt(2). Izračunaj površinu omotača.
U ovom zadatku mi je jasno sve osim razloga zašto podnožje visine prizme mora da se nalazi na dijagonali paralelograma (romba) u osnovi u ovom slučaju.
Ovo je malo teže objasniti. Zapravo dosta teže.
Neka imamo romb ABCD. Presek dijagonala AC i BD obležimo sa O. Taj presek dijagonala se može dobiti i na drugačiji način. Naime, ako nađeš središta stranica ovog romba i spojiš središta naspramnih stranica, ti romb ABCD deliš na četiri manja romba stranica a/2. Neka je P presek duži nastalih spajanjem središta naspramnih stranica. Onda se AP nastvalja na AC i BP nastavlja na PD. Prema tome P je tačka u kojoj se seku dijagonale romba ABCD, tj. ta tačka P je u stvari isto što i ona O sa početka.
Dakle, iz prethodnog sledi da povlačenjem pravi paralenih stranicama romba, a koje prolaze kroz tačku preseka dijagonala O, stranice romba bivaju prepolovljene.
Neka je ugao kod temena A (samim tim i kod C) 60 stepeni. Može se primetiti da povlačenjem dijagonale BD romb ABCD može da se podeli na dva jednakostranična trougla (pošto su tada svi unutrašnji uglovi u tim trouglovima 60). Prema tome, ako iz tačke D spustiš visinu na AB u jednakostraničnom trouglu ABC onda ona polovi stranicu AB. Ta logika važi i za ostale rombove u ovom paralelopipedu.
Neka je osnovi ABCD odgovara druga osnova A'B'C'D'. Posmatraj položaj ivice AA' ove prizme u odnosu na ravan osnove. Pošto je ona deo romba AA'BB' i AA'DD' ona je nagnuta za 60 stepeni u odnosu na ravan osnove u pravcu stranice AB, ali je istovremeno nagnuta pod istim uglom i u odnosu na pravac strance AD. Projekcija duži AA' na na AB i AD iznose po a/2 (već sam napisao zašto u prethodnom delu).
Zatim zamisli koordinatni sistem čije su ose u pravcu stranica AB i AD, sa koordinatnim početkom u A. Koordinate po osama su a/2. U takvom koordinatnom sistemu, pošto ugao između osa nije 90, već 60 stepeni, da bi se odredio položaj projekcije tačke A' na ravan osnove treba povući prave paralelno osama koje prolaze kroz koordinate (0, a/2) i (a/2, 0). U njihovom preseku dobijaš projekciju tačke A' na ravan u kojoj je romb ABCD. Kao što je pre pokazano, spajanjem središta naspramnih stranica romba dobija se presek dijagonala. U ovom koordinatnom sistemu presek dijagonala ima iste koordinate kao i projekcija tačke A' na tu ravan, tj. (a/2, a/2). Tj. zapravo presek dijagonala predstavlja tačku koja je projekcija tačke A' na ravan u kojoj je romb ABCD. Ta tačka je ujedno i podnožje visine prizme iz tačke A', pa otuda sledi da se ono zaista nalazi u preseku dijagonale osnove.
Ako razumeš šta sam napisao, ili još gore, šta sam mislio, zaista svaka ti čast
. U suštini, u stereometriji je bitan neki osećaj za prostor, pa se ovakva razmišljanja mogu izbeći. Da objasnim jasnije ne umem. Mada verovatno postoji neko jednostavnije objašnjenje
.
