Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[Teki99]

Ne mogu da slikam jedino ovako da napisem nadam se da ce biti razumljivo :

y = c1 + c2e^x+ c3e^(-1/2)cos(koren iz tri sa dva) + c4e^(-1/2)sin(koren iz tri sa dva)+3

 

[MathPhysics]

U zbiru koji navodiš, samo jedan član zavisi od x, i to c_2 e^x. Ostali su konstnate, prema tome tvoje rešenje u stvari svodljivo na c_2 e^x + c_1. (mada bih pre rekao da si izostavio par x-eva)

No, kao što rekoh, možeš proveriti svoje rešenje bez problema, tako što nađeš četvrti i prvi izvod ove funkcije koju si dobio. Iako sam poprilično siguran da si dobio malo složeniju formulu, pokazaću kako možeš proveriti svoj rezultat na funkciji c_1 + c_2 e^x. Četvrti izvod od toga je c_2 e^x, a prvi isto tako c_2 e^x.

Kako je razlika y[SUP](4)[/SUP] - y' = 3 =c_2 e^x - c_2 e^x = 0 to nije rešenje. Šta god da si dobio, jednostavno možeš proveriti rezultat tako što nađeš odgovarajuće izvode i vratiš ih u polaznu jednačinu.

 

[MathPhysics]

Može pomoć oko zadatka?
Zbir koordinata centra kružnice koja se nalazi u prvom kvadrantu , koja dodiruje prave y=x+1 i y=3x+1, i sadrži tačku A (3,4), jednak je?
Znači imam dve tangente, ja sam probala nešto, uslovi dodira i tako to, ali pogubim se totalno.Pa bi mi samo uputnice kako da dođem do rešenja bile dovoljne, hvala unapred!

Jednačina kruga je (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Pošto kružnica sadrži tačku (3,4), važi da je (3-a)^2 + (4-b)^2 = r^2
Uslov dodira prave y=kx+n i kružnice je:
(1+k^2)* r^2 = (ka+n - b)^2
Kod prave y=x+1 je k=1 i n=1, pa je:
(1+1)* r^2 = (a+1-b)^2
2r^2 = (a+1-b)^2
Kod prave y=3x+ 1 k' = 3 i n' = 1, pa je uslov dodira:
(1+9)r^2 = (3a +1 - b)^2
10r^2 = (3a - b +1)^2
Otuda dalje dobijamo sistem jednačina:
10r^2 = (3a-b+1)^2
2r^2 = (a-b + 1)^2
(3-a)^2 + (4-b)^2 = r^2

Tri jednačine tri nepoznate- odatle možeš odrediti a, b, r, pa samim tim i zbir a+b. Kada se sve sračuna, dobije se da je zbir a+b=7.

 

[GichiGichiGu]

Jednačina kruga je (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Pošto kružnica sadrži tačku (3,4), važi da je (3-a)^2 + (4-b)^2 = r^2
Uslov dodira prave y=kx+n i kružnice je:
(1+k^2)* r^2 = (ka+n - b)^2
Kod prave y=x+1 je k=1 i n=1, pa je:
(1+1)* r^2 = (a+1-b)^2
2r^2 = (a+1-b)^2
Kod prave y=3x+ 1 k' = 3 i n' = 1, pa je uslov dodira:
(1+9)r^2 = (3a +1 - b)^2
10r^2 = (3a - b +1)^2
Otuda dalje dobijamo sistem jednačina:
10r^2 = (3a-b+1)^2
2r^2 = (a-b + 1)^2
(3-a)^2 + (4-b)^2 = r^2

Tri jednačine tri nepoznate- odatle možeš odrediti a, b, r, pa samim tim i zbir a+b. Kada se sve sračuna, dobije se da je zbir a+b=7.

Jao, ja sam isto ovako radila ali nisam razmišljala o tome kako je to sistem od tri nepoznate nego sam radila metodu zamene, izvlačila r^2 i to je bilo previše komplikovano, skroz sam se pogubila. U svakom slučaju hvala puno na pomoći!

 

[MathPhysics]

Ako ti je problematično da rešiš sistem (svakako nije klasičan sistem linearnih jedančina), kaži, pa ću ispisati rešenje.

Iz prve dve možeš eliminisati r^2, iz prve i treće ili druge i treće, takođe. Tako svedeš sve na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, a i b. (doduše, opet ne i linearne, pa se mora malo improvizovati).

 

[GichiGichiGu]

Ako ti je problematično da rešiš sistem (svakako nije klasičan sistem linearnih jedančina), kaži, pa ću ispisati rešenje.

Iz prve dve možeš eliminisati r^2, iz prve i treće ili druge i treće, takođe. Tako svedeš sve na sistem od dve jednačine sa dve nepoznate, a i b. (doduše, opet ne i linearne, pa se mora malo improvizovati).

To sam i planirala da uradim, hvala još jednom na pomoći, sad ću da probam da izvedem to.

 

[Teki99]

Ljudi hvala vam za pomoc kod one diferencijalne jednacine ali imam jos jedan koji bi trebalo proveriti. Ja sam kao odgovor dobio
5^n*100^((n^2-n)/2)
sto kad se uvrste vrednosti daje
5^(100)*100(50*99)
A evo i zadatka . Ako moze odgovor sto brze bio bih vam veoma zahvalan

Dat je skup A = {1, 2, . . . 100}. Koliko ima grupoida (A, ∗) takvih da je operacija ∗
komutativna i da zadovoljava slede´cu osobinu (∀x ∈ A)x ∗ x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}?

 

[iskaz]

Prvo, parova x∗y u kojima je x=y imamo 100:
1∗1=
2∗2=
...
100∗100=
Rezultat operacije x∗x mora pripadati skupu {1,2,3,4,5}, tj. može imati neku od 5 vrednosti. Posmatramo, zato, na koliko načina tih 5 vrednosti možemo (s ponavljanjem) rasporediti na 100 mesta. To je broj varijacija od 5 elemenata 100. klase s ponavljanjem, a taj broj iznosi 5^100.


Sada posmatramo takve parove x∗y kod kojih je x<y. (Ne posmatramo npr. 34∗7, jer je to, zbog uslova komutativnosti, isto što i 7∗34.) Broj takvih parova x∗y u kojima je x<y jednak je broju kombinacija od 100 elemenata 2. klase bez ponavljanja, tj. 50⋅99:
1∗2=
1∗3=
...
1∗100=
2∗3=
2∗4=
...
3∗4=
3∗5=
...
98∗100=
99∗100=
Pošto rezultat operacije x∗y (gde je x≠y) može imati neku od 100 vrednosti (od 1 do 100), sada tražimo na koliko se načina tih 100 vrednosti može (s ponavljanjem) raspodeliti na 50⋅99 mesta. Broj takvih rasporeda jednak je broju varijacija od 100 elemenata (50⋅99). klase s ponavljanjem, dakle, 100^(50⋅99).


Na kraju samo nađeš proizvod dobijene dve vrednosti: (5^100)⋅[100^(50⋅99)]

 

[Katherina]

Zbir tri broja je 21, azbir njihovih reciprocnih vrednosti je 7/12. Ako ti brojevi obrazuju rastucu geometrijsku progresiju, onda je njihov proizvod:

a)126 b)216 c)162 d)261 e)226

Hvaka unapred na pomoci!

 

[iskaz]

Zbir tri broja je 21

a+b+c=21

azbir njihovih reciprocnih vrednosti je 7/12.

1/a+1/b+1/c=7/12

Ako ti brojevi obrazuju rastucu geometrijsku progresiju

ac=b[SUP]2[/SUP]

i rešiš sistem od tri jednačine s tri nepoznate.

Pomoć:
a+b+c=21 ⇒ a+c=21-b
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/(abc)=[b(a+c)+ac]/[b(ac)]=[b(21-b)+b[SUP]2[/SUP]]/[b⋅b[SUP]2[/SUP]]=...
Pošto je geometrijska progresija rastuća, njeni članovi moraju biti pozitivni, tako da negativna rešenja odbacuješ...

 

[Marko Crnogorac]

U razvoju stepena binoma (na slici) broj clanova koji su racionalni brojevi je?

Ide preko opsteg clana. Kada napravim sve to, kako odrediti broj racionalnih od 2008 clanova?

 

[UltimaN]

Ne znam tačno kojom metodom se rešava, ovako bih ja nekako pokušao... Prvi član proizvoda mora imati parni eksponent, drugi član mora imati eksponent koji je deljiv sa 5, pri čemu je zbir eksponenta prvog i drugog člana proizvoda jednak 2007. Znači to su kombinacije tipa (2,2005), (12,1995), (22,1985)....(1992, 15), (2002,5). Ako sam dobro prebrojao, ima ih 201.

 

[Marko Crnogorac]

Tacan odgovor. Hvala.
Eksponenti moraju zadovoljiti uslov - da su deljivi sa 5 i 2 tj da moraju biti deljivi sa 10. Odatle dolazimo lako do resenja da ih ima 200+1.
I ja sam ga rijesio uz male konsultacije

 

[GreyLord]

Evo nekih zadataka iz Veneove zbirke.
1. Dat je skup parabola y = x[SUP]2[/SUP] - (k+1)x + k (gde je k realan broj). Kada se parametar k menja, odrediti krivu kojoj pripadaju temena tih parabola (tj. geometrijsko mesto temena parabola). Dajte mi neku ideju, pokušao sam preko formula za teme funkcije, ali nekako mi ne ispada dobro

2. Evo jedne trigonometrijske nejednačine, koja mi je nejasna zbog toga što se dobiju 3 rešenja, pa ne znam između kojih brojeva se kreće ugao: 1 - 2cos[SUP]2[/SUP](x) + cos(x) VEĆE od 0. Ovde prvo uvedemo smenu za cos(x), i na kraju se dobiju 3 rešenja. Kako odrediti kom intervalu pripada x?

3. Jedno glupo pitanje: Kada se bilo koji zadatak račva u 2 slučaja, da li je konačno rešenje presek ili unija ta 2 slučaja. Npr. kad je x u osnovi logaritma, onda je unija, a kada je npr. |x| MANJE od 2, onda se uzima presek rešenja 2 nejednačine. Kako znati kad šta uzeti, ima li neke formule ili samo čista logika?

 

[UltimaN]

Što se tiče prvog zadatka, funkcija će imati teme tamo gde joj je prvi izvod jednak nuli.
y'=2x-(k+1)=0

U ovom drugom kada rešiš kvadratnu jednačinu dobijaš t=-1/2 i t=1. cosx mora da bude u tom intervalu. U principu cosx>(-1/2) što bi značilo da je x€(-2pi/3,0)U(0,2pi/3)

Bojim se da te nisam shvatio za ovo treće, ali cenim da logika nije na odmet....

 

[GreyLord]

Što se tiče prvog zadatka, funkcija će imati teme tamo gde joj je prvi izvod jednak nuli.
y'=2x-(k+1)=0

U ovom drugom kada rešiš kvadratnu jednačinu dobijaš t=-1/2 i t=1. cosx mora da bude u tom intervalu. U principu cosx>(-1/2) što bi značilo da je x€(-2pi/3,0)U(0,2pi/3)

Bojim se da te nisam shvatio za ovo treće, ali cenim da logika nije na odmet....

1. Rešenje je inače y = -(x-1)[SUP]2[/SUP]. Nikako ne mogu to da dobijem.
2. Shvatio sam, hvala care
3. Nema veze, ako neko shvati nek napiše, ako ne nmvz.xD

 

[UltimaN]

Si siguran da u tom rešenju ne fali neki broj ispred zagrade?
Ako umesto svakog x napišeš (k+1)/2 kada sve to središ dobijaš da je y=-(1/4)(k-1)[sup]2[/sup]

 

[GreyLord]

Si siguran da u tom rešenju ne fali neki broj ispred zagrade?
Ako umesto svakog x napišeš (k+1)/2 kada sve to središ dobijaš da je y=-(1/4)(k-1)[sup]2[/sup]

Ne, nema uopšte ''k'' u rešenju. Ima kao neki kratki postupak: Izrazili su koordinate temena T((k+1)/2 , (k-1)[SUP]2[/SUP]/4) preko formula -b/2a i (4ac-b[SUP]2[/SUP])/4a. Posle ovoga piše da se eliminacijom parametra k dobija ono rešenje, ali ne znam kako.

 

[iskaz]

1. Rešenje je inače y = -(x-1)[SUP]2[/SUP]. Nikako ne mogu to da dobijem.

Jeste, dobije se y = -(x-1)[SUP]2[/SUP]. Na osnovu formula za x- i y-koordinate temena, x[SUB]T[/SUB]=-b/(2a) i y[SUB]T[/SUB]=(4ac-b[SUP]2[/SUP])/(4a), zamenom parametara date jednačine umesto a, b i c, dobije se:
x[SUB]T[/SUB]=(k+1)/2
y[SUB]T[/SUB]=[4k-(k+1)[SUP]2[/SUP]]/4
y[SUB]T[/SUB]=[4k-(k[SUP]2[/SUP]+2k+1)]/4
y[SUB]T[/SUB]=(4k-k[SUP]2[/SUP]-2k-1)/4
y[SUB]T[/SUB]=(-k[SUP]2[/SUP]+2k-1)/4
y[SUB]T[/SUB]=-(k[SUP]2[/SUP]-2k+1)/4
y[SUB]T[/SUB]=-(k-1)[SUP]2[/SUP]/4

Sada je potrebno da, na osnovu formule za x-koordinatu temena, k izrazimo preko x[SUB]T[/SUB], a zatim da to uvrstimo u formulu za y-koordinatu temena i dobićemo y-koordinatu temena u zavisnosti od x-koordinate temena, a to je upravo ono što tražimo. Dakle:

x[SUB]T[/SUB]=(k+1)/2 ⇒ k=2x-1

y[SUB]T[/SUB]=-(k-1)[SUP]2[/SUP]/4 ⇒ y[SUB]T[/SUB]=-[(2x-1)-1][SUP]2[/SUP]/4
Sredimo:
y[SUB]T[/SUB]=-(2x-2)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-2[SUP]2[/SUP](x-1)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-4(x-1)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-(x-1)[SUP]2[/SUP]

 

[GreyLord]

Jeste, dobije se y = -(x-1)[SUP]2[/SUP]. Na osnovu formula za x- i y-koordinate temena, x[SUB]T[/SUB]=-b/(2a) i y[SUB]T[/SUB]=(4ac-b[SUP]2[/SUP])/(4a), zamenom parametara date jednačine umesto a, b i c, dobije se:
x[SUB]T[/SUB]=(k+1)/2
y[SUB]T[/SUB]=[4k-(k+1)[SUP]2[/SUP]]/4
y[SUB]T[/SUB]=[4k-(k[SUP]2[/SUP]+2k+1)]/4
y[SUB]T[/SUB]=(4k-k[SUP]2[/SUP]-2k-1)/4
y[SUB]T[/SUB]=(-k[SUP]2[/SUP]+2k-1)/4
y[SUB]T[/SUB]=-(k[SUP]2[/SUP]-2k+1)/4
y[SUB]T[/SUB]=-(k-1)[SUP]2[/SUP]/4

Sada je potrebno da, na osnovu formule za x-koordinatu temena, k izrazimo preko x[SUB]T[/SUB], a zatim da to uvrstimo u formulu za y-koordinatu temena i dobićemo y-koordinatu temena u zavisnosti od x-koordinate temena, a to je upravo ono što tražimo. Dakle:

x[SUB]T[/SUB]=(k+1)/2 ⇒ k=2x-1

y[SUB]T[/SUB]=-(k-1)[SUP]2[/SUP]/4 ⇒ y[SUB]T[/SUB]=-[(2x-1)-1][SUP]2[/SUP]/4
Sredimo:
y[SUB]T[/SUB]=-(2x-2)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-2[SUP]2[/SUP](x-1)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-4(x-1)[SUP]2[/SUP]/4
y[SUB]T[/SUB]=-(x-1)[SUP]2[/SUP]

Sad mi nije jasno kako meni ovo nije palo na pamet
Iskaz, inače, ako ti nije previše konfuzno šta želim da pitam: Kada se bilo koji zadatak račva u 2 slučaja, da li je konačno rešenje presek ili unija ta 2 slučaja. Npr. kad je x u osnovi logaritma, onda je unija, a kada je npr. |x| MANJE od 2, onda se uzima presek rešenja 2 nejednačine. Kako znati kad šta uzeti, ima li neke formule ili samo čista logika?

 

[MathPhysics]

I meni je previše konfuzno to tvoje pitanje. Napiši obe te nejednačine, pa ćemo ti objasniti baš na tom primeru.

 

[GreyLord]

Kada se bilo koji zadatak račva u 2 slučaja, da li je konačno rešenje presek ili unija ta 2 slučaja. Npr. kad je x u osnovi logaritma, onda je unija, a kada je npr. |x| MANJE od 2, onda se uzima presek rešenja 2 nejednačine. Kako znati kad šta uzeti, ima li neke formule ili samo čista logika?

log[SUB]x[/SUB](izraz po x) VEĆE od 0. Kod ove nejednačine mi moramo da radimo 2 slučaja, za x od 0 do 1, i za x veće od 1. Dakle, mi radimo svaki slučaj posebno (zbog različitih uslova), a kada ih uradimo (ta 2 slučaja), konačno rešenje je unija ta 2 slučaja.

|izraz po x| MANJE od 2. Ovde mi takođe radimo 2 slučaja: kad je izraz po x manji od 2, i kad je izraz po x veći od -2. Ali konačno rešenje jeste presek rešenja ovih slučajeva.

Jel je jasnije?

 

[Bad_Wolf]

Kada se bilo koji zadatak račva u 2 slučaja, da li je konačno rešenje presek ili unija ta 2 slučaja. Npr. kad je x u osnovi logaritma, onda je unija, a kada je npr. |x| MANJE od 2, onda se uzima presek rešenja 2 nejednačine. Kako znati kad šta uzeti, ima li neke formule ili samo čista logika?

log[SUB]x[/SUB](izraz po x) VEĆE od 0. Kod ove nejednačine mi moramo da radimo 2 slučaja, za x od 0 do 1, i za x veće od 1. Dakle, mi radimo svaki slučaj posebno (zbog različitih uslova), a kada ih uradimo (ta 2 slučaja), konačno rešenje je unija ta 2 slučaja.

|izraz po x| MANJE od 2. Ovde mi takođe radimo 2 slučaja: kad je izraz po x manji od 2, i kad je izraz po x veći od -2. Ali konačno rešenje jeste presek rešenja ovih slučajeva.

Jel je jasnije?

Probaj da "pricas" uslove - tamo gde treba da vazi i jedan i drugi uslov, tamo ti je presek, gde je "svejedno" - tu ti je presek.

Npr. ako na pocetku postavis uslov da je nesto vece od nule - onda ce krajnji rezultat da bude pod tim uslovom, tj. vaze i jedan i drugi - to ti je presek. Za onaj drugi slucaj ti je isto - za ta dva krajnja je unija. Jer si pocetne uslove imao kao ili-ili, sto je unija.

 

[iskaz]

Kada rešenja mogu pripadati jednom ILI drugom skupu (s naglaskom na ILI), tada rešenje pripada uniji tih skupova.

A kada rešenja moraju pripadati i jednom i drugom skupu (a ne samo jednom od tih skupova), tada rešenje pripada preseku tih skupova.

Kada se zadatak račva na dva slučaja, u svakom od ta dva slučaja potrebno je prvo odrediti uslove za taj slučaj. Zatim nađemo rešenje za taj slučaj. E sad, pošto x istovremeno treba da zadovoljava i uslov tog slučaja a i dobijeno rešenje, potrebno je naći presek tog slučaja i dobijenog rešenja. Npr. ako bismo imali |x-3|>5, tada pretpostavimo slučaj x-3<0, tj. x<3, pa rešavamo (-x+3)>5, tj. x<-2. Pošto x istovremeno treba da zadovolji i uslov tog slučaja, a i dobijeno rešenje, potrebno je naći presek uslova tog slučaja (x<3) i dobijenog rešenja (x<-2), a to je x<-2.

Međutim, kada na taj način odredimo konačna rešenja oba slučaja (i za slučaj x-3<0 i za slučaj x-3≥0), tada x može pripadati bilo kom od ta dva dobijena skupa rešenja. Zbog toga se tada traži njihova unija. U ovom mom primeru rešenje prvog slučaja je, kao što napisah, x<-2, a rešenje drugog slučaja (kada je x-3≥0) bilo bi x>8. Zatim se traži unija ta dva rešenja i dobije se x<-2 ∨ x>8.

Što reče UltimaN, u pitanju je čista logika. Takve tipove zadataka je najgore učiti napamet, moraju se raditi s punim razumevanjem.

|izraz po x| MANJE od 2. Ovde mi takođe radimo 2 slučaja: kad je izraz po x manji od 2, i kad je izraz po x veći od -2. Ali konačno rešenje jeste presek rešenja ovih slučajeva.

Ovde je verovatno greška, konačno rešenje bi upravo trebalo da bude unija rešenja ta dva slučaja.

 

[GreyLord]

Ovde je verovatno greška, konačno rešenje bi upravo trebalo da bude unija rešenja ta dva slučaja.

Evo jednog zadatka (koji mi je jasan), gde je konačno rešenje presek 2 slučaja:
Odrediti ''a'' tako da je nejednakost tačna za svaki realan broj x. |(x[SUP]2[/SUP] + ax + 1)/(x[SUP]2[/SUP] + x + 1)| MANJE od 2.

Hvala na odgovoru inače, nisam ni mislio da učim napamet.

A kad sam već ovde, hajde da pitam. xD
Naći maksimum i minimum funkcije: f(x) = (2x[SUP]2[/SUP] + 6x + 6)/(x[SUP]2[/SUP] + 4x + 5). Ovo sam tačno uradio preko izvoda, ali može da se uradi i tako što ćemo postaviti uslov da je D veće ili jednako 0 (nakon što dobijemo kvadratnu po x). Zašto baš ovaj uslov?