Низ b[SUB]n[/SUB] је задан као b[SUB]n[/SUB]=a[SUB]n+1[/SUB]-a[SUB]n[/SUB], при чему је a[SUB]n[/SUB] позитиван реалан низ. Доказати да је lim sup b[SUB]n[/SUB]>=0.
Malo mi je čudna ova notacija sa lim sup. Pretpostavljam da znači sup
B, gde
B = {
b[SUB]n[/SUB] | n ∈
N}. U tom slučaju je rešenje jednostavno.
Suprotna pretpostavka: -β = sup
B < 0. To znači da je (∀
n ∈
N)
b[SUB]n[/SUB] < -β < 0 tj.
a[SUB]n+1[/SUB] <
a[SUB]n[/SUB]. Tada je niz (
a[SUB]
n[/SUB]) strogo opadajući. Dakle,
a je je monoton i ograničen (odozdo, 0 je donja granica jer su članovi
a po uslovu zadatka pozitivni), te on konvergira. Neka je njegov limes
t.
Dokažimo sada da postoji član
b veći od -β. Posmatrajmo (β / 2)-okolinu broja
t. Po definiciji limesa su svi
a[SUB]n[/SUB] počev od nekog
n[SUB]0[/SUB] unutar tog intervala. Kako je unutar njega razlika svaka dva uzastopna člana niza
a nakon
n[SUB]0[/SUB], zaključujemo, u stvari, da će apsolutna vrednost razlike dva susedna člana niza
a tada biti manja od β. Iz monotonosti
a možemo da zaključimo i da je
b[SUB]
n[SUB]0[/SUB][/SUB] > -β, što je u kontradikciji sa definicijom -β. Kontradikcija. Dakle, sup
B ≥ 0.
Naravno, mogao i je i na malo prostiji način ovaj deo posle...
Pa eto bar da ti dam malo elana 
