Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[Kugelschreiber]

Ja bih samo da se zahvalim svima koji su mi pomagali u izradi zadataka bilo iz matematike bilo iz hemije. Prijemni se završio, upao sam na budžet...

 

[Realno Nerealan]

There is a square house. Each side of the house has a window. And there are 8 fields surrounding the house. It is so you can see 3 fields through each window.
Through each window you can see the same amount of sheep.
Yet there is a total of 46 Sheep.
How many sheep are on each field?

FIELD A FIELD B FIELD C

FIELD D HOUSE! FIELD E

FIELD F FIELD G FIELD H

 

[NemanjaNS90]

Ima mnogo resenja. Jedno je npr.

01 11 00
11    11
00 11 01

ili

00 12 00
12    10
00 10 02

...

 

[Миша]

Мхм, решења баш има. Почев од:

 23  0   0
  0  K   0
  0  0  23

Па сад то може да се шета и шета по пољима.

 

[bozijeSlovo]

1.) Kroz tacku (-1, 0, 4) povuci pravu paralelnu ravni
3x-4y+z-10=0
tako da sijece pravu
(x+1)/3=(y-3)/1=z/2

resenje u knjizi je (x+1)/48 = y/37 = (z-4)/4
ovde mi nije jasno kako doci do vektora pravca {48, 37, 4}, tj. lako mi je naci pravu paralelnu datoj ravni, ali onda nastaje problem, koji uslov je potreban da bi ta prava sjekla drugu pravu i kako uopste doci do njega?


2.) Zadani su vektori a = {2λ, 1, 1-λ}, b = {-1, 3, 0}, c = {5, -1, 8}.
Odredi parametar λ tako da ugao izmedju vektora a i b bude jednak uglu izmedju vektora a i c.

resenje iz knjige je λ=1/4
eh sad, pokusao sam da to rijesim preko jednacina cos∠(a, b) = cos∠(a, c), ali prema onom sto sam radio dobijem dobijem neke kvadratne jednacine i kod jedne diskriminanta bude manja od nula.


3.) Odredi povrsinu paralelograma sa dijagonalama
e = 2m - n,
f = 4m - 5n,
ako je |m|=|n|=1 i ugao izmedju m i n = π/4.

resenje je 3sqrt(2)/2
jasno mi je da je povrsina paralelograma polovina intenziteta vektorskog proizvoda dijagonala i sta god da uradim ne mogu dobit ovaj rezultat.


4.) Zadani su vektori
m = a - b + c,
n = -2a - b + c,
gdje su a, b i c jedinicni vektori koji zatvaraju uglove:
∠(a, b) = π/3,
∠(b, c) = 2π/3,
∠(a, c) = π/3.
Izracunati duzine dijagonala paralelograma konstruisanog nad tim vektorima.

resenja su d1=3, d2=sqrt(13)
ovaj zadatak je bio na ispitu iz analiticke geometrije, i ja apsolutno nemam ideju kako da ga rijesim.


5.) Zadane su paralelene prave:
p... x/1=(y-3)/2=(z-3)/0 i
q... (x-2)/1=(y-1)/2=(z-3)/0,
odrediti ravan π u odnosu na koju su te prave simetricne.

resenje je 2x-y=0
znak kako dobiti vektor normale ravni tako da ravan bude paralelna sa pravom, ali kako dobiti ovaj vektor normale ne znam, jer kako god da pokusam u determinanti na a23 i a33 mi se pojave nule, a tada su i 'i' i 'j' jednaki nuli.


6.) Na pravoj
(x+4)/1=(y+2)/(-1)=(z-10)/(-1)
odrediti tacku A koja je najbliza pravoj
(x-3)/1=(y-3)/(-4)=(z+3)/2.

resenje je (4, -10, 2)
lako je naci najkrace rastojanje mimoilaznih pravih, ali kako naci tacku na nekoj pravoj koja je najbliza nekoj drugoj pravoj (prave su mimoilazne)?


Molim vas, ako je moguce uz resenja pisete kako ste dosli do njih.
Svaka vrsta pomoci je dobrodosla.
Hvala

 

[Миша]

1) Не одредиш прво праву паралелну равни, јер имаш безброј решења. Уместо тога одредиш раван паралелну датој равни која пролази кроз дату тачку. Требало би да је то 3x - 4y + z - 1 = 0. Онда вероватно дата права ( (x+1)/3=(y-3)/1=z/2 ) сече ту нову раван у само једној тачки. Када се споје та тачка и полазна тачка (-1, 0, 4), добија се решење.

2) Кех... вероватно си негде нешто превидео. Ако су ти вектори a, b и c, урадиш

ab / (|a||b|) = ac / (|a||c|)

и добије се:

ab |c| = ac |b|

Израчунај.

3) Одреди векторе дијагонала за почетак.

4) Одреди прво векторе a, b и c. За мене су они нешто попут (1, 0), (cos(pi/3), sin(pi/3)), (cos(pi/3), -sin(pi/3)).

Доста за сада.

 

[bozijeSlovo]

da se malo pohvalim, 4. i 6. sam rijesio...
4. je prejednostavan jedna dijagonala je m+n a druga m-n kasnije je lako odrediti intenzitete, (inace sabiranje i oduzimanje vektora je prvo sto se uci... kad je neko glup - glup je ) , ali jednostavno nekad ne padne na pamet, jer pomislis da je nacin na koji se dolazi do resenja neko bozijeSlovo...
6. posto su prave mimoilazne, prvo treba naci normalu izmedju njih (normala je jedinstvena), i onda samo naci presjek te normale sa prvom pravom... (malo pipavo jer ima dosta racuna... <3 predznak )

Misho, veliko hvala za prvi i drugi...

 

[Миша]

da se malo pohvalim, 4. i 6. sam rijesio...
6. posto su prave mimoilazne, prvo treba naci normalu izmedju njih (normala je jedinstvena), i onda samo naci presjek te normale sa prvom pravom... (malo pipavo jer ima dosta racuna... <3 predznak )

Ја бих те питао што налазиш ту нормалу. Из формула које си дао, могу да се добију координате свих тачака датих правих:

A: (a, -6-a, 6-a)
B: (b, -4b+15, 2b-9)

Од њих можеш да формираш вектор AB, који је вектор сваке дужи између те две праве:

AB = (b-a, -4b + a + 21, 2b + a - 15)

Да би био нормала, треба да буде нормалан на оба вектора дуж којих се дате праве протежу, а њих већ имаш из полазних формула: (1, -1, -1) односно (1, -4, 2). Дакле, из:

AB (1, -1, -1) = 0
AB (1, -4, 2) = 0

ти треба једино a. А оно је 4. Када то убациш у прву формулу, добијеш (4, -10, 2).

 

[Metaman]

moze li mi neko pomoci oko resavanja sledecih diferencijalnih jednacina:
prvi izvod od x+ax-b=0;
prvi izod od x+ax=0. Vjerujem da je ovo za vas trivijalno, ali se ja ne snalazim bas najbolje oko ovoga...

Hvala puno!

 

[Metaman]

samo da dodam, koeficijenti a i b su mi poznati....

 

[Миша]

prvi izvod od x+ax-b=0;
prvi izod od x+ax=0.

Да ти не требају можда прости изводи? Колико ме сећање служи, када се решава диференцијална ј-на, даје се нешто попут:

y(x)' = x+ax-b

Евентуално се дода

y(0) = 0
y'(0) = 1

 

[. . .]

Да ти не требају можда прости изводи? Колико ме сећање служи, када се решава диференцијална ј-на, даје се нешто попут:

y(x)' = x+ax-b

Евентуално се дода

y(0) = 0
y'(0) = 1

To na kraju sto se doda su pocetni uslovi i oni sluze da se dodje do konkretne jednacine (one bez konstanti) i obicno uslova imas onoliko koliki je i stepen jednacine. . .

@ Metaman

Deder te jednacine napisi da budu y'=f(x) pa cu ti ih ja resiti. . . Ili ako hoces resi sam, MIsa sto je napisao je ODJ koja razdvaja promenljive pa onda smo upotrebi taj metod za resavanje, sve gde ima x na jednu stranu, a sve gde ima y na drugu pa integrali. . .

 

[Metaman]

Evo ovako, ne mogu sam posto sam ja drugi razred srednje skole i da budem iskren jako malo znam o diferencijalnim jednacinama... Ja sam u zadatku iz fizike dosao do formula: dN1/dt=-N1*A1 i dN2/dt=N1A1-N2A2, gdje su mi A1 i A2 konstante, a pocetni uslovi t=0, N1=N, a N2=0. Meni treba formula kojom cu pokazati kako mi se N1 i N2 mijenjaju tokom vremena...

 

[Paganko]

Evo ovako, ne mogu sam posto sam ja drugi razred srednje skole i da budem iskren jako malo znam o diferencijalnim jednacinama... Ja sam u zadatku iz fizike dosao do formula: dN1/dt=-N1*A1 i dN2/dt=N1A1-N2A2, gdje su mi A1 i A2 konstante, a pocetni uslovi t=0, N1=N, a N2=0. Meni treba formula kojom cu pokazati kako mi se N1 i N2 mijenjaju tokom vremena...

Pa pošto ne znaš diferencijalne (što je normalno) onda ti ne vredi da ti objašnjavam rešenje previše ni po crknute mačke.

Prva dif. jednačina je prosta:

dN1/dt = -A1*N1 => dN1/N1 = -A1*dt

Sad integralimo obe strane:

ln(N1)-ln(N1(0)) = -A1t

odavde je:

ln(N1/N1(0)) = -A1*t

Odnosno:

N1= N*e^(-A1t)

Druga jednačina je:

dN2/dt=N1A1-N2A2

dN2/dt+A2N2 = N1A1

odnosno:

dN2/dt+A2N2 =A1N*e^(-A1t)

Ovo je linearna diferencijalna jednačina koja se može rešiti na više načina. Jedan je svođenje na gornji oblik, a to se čini množenjem cele jednačine integralnim faktorom, u ovom slučaju:

e^(A2t)

Sada je jednačina:

dN2/dt*e^(A2t)+A2N2*e^(A2t) =A1*A2*N*e^((A2-A1)t)

Leva strana je očigledno izvod složene funkcije, pa ćemo jednačinu zapisati u obliku:

d(N2*e^(A2t))/dt = A1*A2*N*e^((A2-A1)t)

Odavde je potrebno naći integral desne strane pa uvrstiti početni uslov. Integracijom se dobija:

N2*e^(A2t) = A1*A2*N*/(A2-A1)*e^((A2-A1)t) + C

gde je C neka nepoznata konstanta-

i konačno

N2 = (A1*A2*N*/(A2-A1)*e^((A2-A1)t) + C) / e^(A2t)


Obzirom na početi uslov da je N2 = 0 za t = 0 dobijamo da je:

0 = A1*A2*N*/(A2-A1)* + C

pa je

C = - A1*A2*N*/(A2-A1)

Tako je N2:

N2 = (A1*A2*N*/(A2-A1)*e^((A2-A1)t) -A1*A2*N*/(A2-A1)) / e^(A2t)

Da nisi stavio ovako bezveze oznake za konstante i funkcije, delovalo bi daleko prostije....

 

[Metaman]

nema veze meni je ovako odlicno, bas tako mi je i trebalo! Hvala puno! Meni od svega ovoga samo treba ovo resenje jednacina, koje cu da zapamtim (valjda :/ ), a inace na Olimpijadi (za koju se spremam) ce mi biti dato kako izgleda resenje diferencijalnih jednacina do kojih mogu doci u zadatku... Hvala jos jednom!

 

[. . .]

E Paganko, sto si takav, unistio si mi zabavu

 

[Metaman]

eee . . . ne brini ti nista naci cu ja jos diferencijalnih jednacina... ima toga koliko ti dusa zeli...

 

[. . .]

Drzim te za rec

 

[Миша]

Не да нема диференцијалних, него нема ничега.

 

[Мата Лабор]

evo jedan zadatak iz verovatnoce, elementaran...ali ja sam preskocila taj deo...

Jedan radnik u smeni proizvede 400 000 zatvaraca. Medju proizvodima se nalazi 1% skarta. Ako radnik ima obavezu da u smeni izvrsi kontrolu 300 zatvaraca, koja je verovatnoca da ce se medju 300 prekontrolisanih naci najmanje 1 skartni zatvarac?
(postupak i resenje)
Koliko zatvaraca treba da pregleda radnik da bi verovatnoca bila npr. 1%, 5%, 10%...itd?
(postupak i resenje)

Здраво,
случајно сам нешто сурфовао јуче и налетео на једно питање од пре пар месеци... можда јесте касно, али мислим да је остало недоречено до краја, па ако неко нешто ново сазна из мог одговора, или га одговор подстакне на даље учење, онда је одговор испунио своју мисију.

То је класично питање из контроле квалитета: добијате пошиљку од N производа за коју вам произвођач тврди да нема више од p% шкарта. Онда ви узимате из пошиљке n производа и на основу броја пронађених шкарт производа прихватате или одбијате пошиљку.

Прво, NemanjaNS90, Kosta1703, MathPhysics и још неки су тачно одговорили, вероватноћа јесте око 95%. Формула коју су они дали

1 - (396000 over 300)/(400000 over 300)

је ТАЧНО решење проблема. Проблем се своди на ХИПЕРГЕОМЕТРИЈСКУ расподелу. Међутим, као што су људи рекли, практично је јако тешко радити са толико великим бројевима. Због тога се обично у пракси хипергеометријска расподела апроксимира стандардном нормалном расподелом (можете о овом изgoogle-ати). Вероватноћа да ће у узорку бити мање од k шкарта је:

Phyper(X<=k) = Pnorm(Y<=k)

Вероватноћа Pnorm(Y<=k) се може наћи из таблица, и једнака је:

Pnorm(Y<=k) = CDF(k-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

где је CDF - cumulative distribution function. Рачун иде овако:

y = (k-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = -3/sqrt(2.97)=-1.7408

где је k=0 максимални број шкарта у узорку, n=300 величина узорка, p=0.01 проценат шкарта. Сада се за ово y израчуна CDF стандардне нормалне расподеле (из таблица или на рачунару):

Pn = CDF(-1.7408) = 0.0409

То је вероватноћа да у узорку неће бити НИЈЕДАН шкарт. Вероватноћа да у узорку буде БАР ЈЕДАН шкарт је онда:

P = 1 - Pn = 0.9591 или 95.9%

Још један начин да се одреди ова вероватноћа је преко симулација, нпр. Монте-Карло методом. Ја сам направио три пута по 10000 симулација (траје око пола минута) и добио следеће резултате: 95.25%, 95.20% и 94.92%.

Поздрав!

 

[Мата Лабор]

evo jedan zadatak iz verovatnoce, elementaran...ali ja sam preskocila taj deo...

Jedan radnik u smeni proizvede 400 000 zatvaraca. Medju proizvodima se nalazi 1% skarta. Ako radnik ima obavezu da u smeni izvrsi kontrolu 300 zatvaraca, koja je verovatnoca da ce se medju 300 prekontrolisanih naci najmanje 1 skartni zatvarac?
(postupak i resenje)
Koliko zatvaraca treba da pregleda radnik da bi verovatnoca bila npr. 1%, 5%, 10%...itd?
(postupak i resenje)

Здраво,
случајно сам нешто сурфовао јуче и налетео на једно питање од пре пар

месеци... можда јесте касно, али мислим да је остало недоречено до

краја, па ако неко нешто ново сазна из мог одговора, или га одговор

подстакне на даље учење, онда је одговор испунио своју мисију.

То је класично питање из контроле квалитета: добијате пошиљку од N

производа за коју вам произвођач тврди да нема више од p% шкарта. Онда

ви узимате из пошиљке n производа и на основу броја пронађених шкарт

производа прихватате или одбијате пошиљку.

Прво, NemanjaNS90, Kosta1703, MathPhysics и још неки су тачно

одговорили, вероватноћа јесте око 95%. Формула коју су они дали

1 - (396000 over 300)/(400000 over 300)

је ТАЧНО решење проблема. Проблем се своди на ХИПЕРГЕОМЕТРИЈСКУ

расподелу. Међутим, као што су људи рекли, практично је јако тешко

радити са толико великим бројевима. Због тога се обично у пракси

хипергеометријска расподела апроксимира стандардном нормалном

расподелом (можете о овом изgoogle-ати). Вероватноћа да ће у узорку

бити мање од k шкарта је:

Phyper(X<=k) = Pnorm(Y<=k)

Вероватноћа Pnorm(Y<=k) се може наћи из таблица, и једнака је:

Pnorm(Y<=k) = CDF(k-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

где је CDF - cumulative distribution function. Рачун иде овако:

y = (k-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) = -3/sqrt(2.97)=-1.7408

где је k=0 максимални број шкарта у узорку, n=300 величина узорка,

p=0.01 проценат шкарта. Сада се за ово y израчуна CDF стандардне

нормалне расподеле (из таблица или на рачунару):

Pn = CDF(-1.7408) = 0.0409

То је вероватноћа да у узорку неће бити НИЈЕДАН шкарт. Вероватноћа да у

узорку буде БАР ЈЕДАН шкарт је онда:

P = 1 - Pn = 0.9591 или 95.9%

Још један начин да се одреди ова вероватноћа је преко симулација, нпр.

Монте-Карло методом. Ја сам направио три пута по 10000 симулација

(траје око пола минута) и добио следеће резултате: 95.25%, 95.20% и 94.92%.

 

[Metaman]

evo da malo razbudim ove matematicare . Radi se o sledecem: imam funkciju x=ky^c, k i c su mi nepoznate konstante, a poznate su mi vrijednosti y za odredjeno x (koje je takodje poznato), tako da ja mogu nacrtati grafik koji naravno nije linearan... Meni treba da linearizujem ovu fukciju tako da mogu naci koeficijent pravca, preko koga cu naci neku od ovih nepoznatih konstanti (k ili c), e sad ja vas pitam kako da je linearizujem i da li je to uopste mguce?

 

[Baraba na kvadrat]

evo da malo razbudim ove matematicare . Radi se o sledecem: imam funkciju x=ky^c, k i c su mi nepoznate konstante, a poznate su mi vrijednosti y za odredjeno x (koje je takodje poznato), tako da ja mogu nacrtati grafik koji naravno nije linearan... Meni treba da linearizujem ovu fukciju tako da mogu naci koeficijent pravca, preko koga cu naci neku od ovih nepoznatih konstanti (k ili c), e sad ja vas pitam kako da je linearizujem i da li je to uopste mguce?

ajde malo pojasnjenja kako mislis da za funkciju koja nije linearna nadjes koeficijent pravca ?

 

[Metaman]

pa treba da je linearizujem, u tome i jeste problem st ne znam kako... :/

 

[MathPhysics]

Logaritmuj ceo izraz po osnovi e, dobićeš ln x = c * ln y + ln k. Onda na jednu osu naneseš ln x, a na drugu ln y, pa ćeš dobiti linearan grafik. Koeficijent pravca je c, a ln k će biti dužina odgovarajućeg odsečka na jednoj od osa.