Pratim ovu temu već neko vreme i došao je trenutak da odgovorim.
Mislim da kumarevo ne shvata "ideju" matematike - sve je bazirano na striktnoj logici i na aksiomatskom sistemu. Dozvoljeno je samo deduktivno razmišljanje i jako je neophodno precizno definisanje novih pojmova. Neka oblast matematike može da ima greške samo ako u okviru nje postoji neka kontradikcija.
Problem ovde je činjenica da ova "nova matematika" nema nijedan dokaz u sebi, nigde se ne vidi iz čega je sve izvedeno - sve se svodi na "vidi se sa slike", a to ne predstavlja deduktivno zaključivanje. Takođe, uvode se novi pojmovi bez prethodnog definisanja. Tačno je da se ni u Euklidskoj geometriji ne definišu tačka, prava i ravan, ali zbog toga postoji sistem od 23 aksiome koje opisuju odnose između njih. Ovde su definicije nepotpune i mogu se interpretirati na razne načine. Na primer, u Euklidskoj geometriji su definicije i aksiome poprilično precizne: postoje tri aksiome koje zvuče kao ista stvar, ali nisu.
Svaka ravan sadrži bar tri tačke.
Za svake tri tačke postoji bar jedna ravan koja ih sve sadrži.
Za svake tri nekolinearne tačke postoji tačno jedna ravan koja ih sve sadrži.
Takođe, nije OK nalaziti kontradikcije pozivajući se na tvrđenja za koja niko ni ne tvrdi da su tačna:
U
svim matematičkim knjigama piše-racionalni brojevi na brojevnoj pravi:
1.prava se sastoji od tačaka
2.svakoj tački na brojevnoj pravi odgovara racionalni broj.
3.između dva racionalna broja postoje beskonačno mnogo racionalni brojevi.
sad sledi objašnjenje iracionalnih brojeva ( kvadratni koren od dva ):
dijagonala kvadrata seče brojevnu pravu ( presek tačka ), ovo tvrćenje je suprotno (2,3)...
Ovo boldovano nigde ne piše - svakoj tački na brojevnoj pravoj odgovara tačno jedan
realan broj. Ovo je posledica aksiome neprekidnosti i aksiome o supremumu. Ne važi za racionalne brojeve - skup realnih brojeva se i uvodi da bi svaki skup imao supremum tj. da bi svaka tačka na brojevnoj pravoj imala svoj odgovarajući broj.
Za one koji ne znaju šta je supremum, on predstavlja najmanju majorantu nekog skupa, a majoranta je bilo koji broj koji nije manji od svih elemenata tog skupa. Za skupove koje definišemo nabrajanjem ili putem intervala se supremum lako određuje. Međutim, nalaženje supremuma ovog skupa:
A = {
x |
x[SUP]2[/SUP] ≤ 2}
predstavlja značajan problem. Dokazuje se da ovaj skup nema supremum.
Neka je sup A =
a. Postoje tri mogućnosti:
a[SUP]2[/SUP] < 2,
a[SUP]2[/SUP] = 2,
a[SUP]2[/SUP] > 2. Budući da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak 2 (što je Paganko lepo dokazao na 2. strani), druga mogućnost otpada. Postavlja se pitanje kako postupiti u druga dva slučaja. Oni su potpuno analogni, pa ću prikazati samo slučaj za
a[SUP]2[/SUP] < 2.
Pretpostavimo da smo našli supremum ovog skupa. Uzmimo neki prirodan broj n. Znajući da je (
a + 1/
n)[SUP]2[/SUP] =
a[SUP]2[/SUP] + 2
a/
n + 1/
n[SUP]2[/SUP] ≤
a[SUP]2[/SUP] + (2
a + 1)/
n, uzimamo prirodan broj n dovoljno velik da zadovoljava
n > (2
a + 1)/(2 -
a[SUP]2[/SUP]), što je moguće uraditi zbog jedne osobine racionalnih brojeva koja se zove Arhimedovo svojstvo. Odavde sledi da je (
a + 1/
n)[SUP]2[/SUP] <
a[SUP]2[/SUP] + (2 -
a[SUP]2[/SUP]) = 2. Međutim, to znači da
a + 1/
n ulazi u skup A, ali i da je veći od
a, a pretpostavili smo da je to supremum ovog skupa. Dakle, dolazimo do kontradikcije.
Dakle, ispostavlja se da ovaj skup nema racionalan supremum. Da bismo rešili ovaj problem, uvodimo skup realnih brojeva koji se zasniva na 16 aksioma, od kojih prvih 15 predstavljaju osobine racionalnih brojeva, a 16. aksioma kaže da svaki skup ima supremum. Iz prvih 15 aksioma se lako pokaže da su svi racionalni brojevi ujedno i realni, nakon čega se definiše skup iracionalnih brojeva.
Znam da ovo što sam napisao verovatno nikome nije od koristi, mada smatram da bi bilo jako korisno da kumarevo ovo pročita.
Čuo sam i da količina unetog alkohola u proces merenja bitno utiče na rezultat. Tako da, slažemo se, ne samo da je promenjiva, već zavisi i od više uslova....
