Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[bubamarica:)]

Ovaj zadatak postavljam u ime cijelog svog razreda, posto ocigledno niko od nas nije ''potrefio'' kako treba uraditi: za koje X elemenat od R zadani izraz je prirodni broj x/(x2-5x+7) ?

 

[PartizanBeograd]

E ljudi, ajde prost zadatak treba mojoj sestri, u pitanju je diferencijalna jednacina. Radio sam ih pre 2 godine ali sam skroz zaboravio, pa evo neko ko je u toku sa tim da resi ovaj lak zadatak

d/dx*(-2*x*y^2) ako mi je y'=dy/dx

ovo ^2 znaci na kvadrat

 

[MathPhysics]

Ovaj zadatak postavljam u ime cijelog svog razreda, posto ocigledno niko od nas nije ''potrefio'' kako treba uraditi: za koje X elemenat od R zadani izraz je prirodni broj x/(x2-5x+7) ?

Nađeš maksimum ove funkcije (pomoću izvoda). On je negde između 3 i 4. Prema tome moguće vrednosti prirodnih brojeva koje ovaj izraz može da da su: 1,2,3.

Izjednačavanjem te tri vrednosti za funkcijom iz zadatka dobijaju se tri kvadratne jednačine čija su realna rešenja ujedno i jedina rešenja zadatka.

 

[Paganko]

Nađeš maksimum ove funkcije (pomoću izvoda). On je negde između 3 i 4. Prema tome moguće vrednosti prirodnih brojeva koje ovaj izraz može da da su: 1,2,3.

Izjednačavanjem te tri vrednosti za funkcijom iz zadatka dobijaju se tri kvadratne jednačine čija su realna rešenja ujedno i jedina rešenja zadatka.

Mislim da oni nisu radili izvode....

 

[Paganko]

E ljudi, ajde prost zadatak treba mojoj sestri, u pitanju je diferencijalna jednacina. Radio sam ih pre 2 godine ali sam skroz zaboravio, pa evo neko ko je u toku sa tim da resi ovaj lak zadatak

d/dx*(-2*x*y^2) ako mi je y'=dy/dx

ovo ^2 znaci na kvadrat

E pa da je u pitanju diferencijalna jednačina imala bi negde i znak jednakosti. Znači: neštonešto = svaštanešto. Ovako je to samo najobičniji izraz i to prilično nejasno zadat.

 

[bubamarica:)]

Mislim da oni nisu radili izvode....

Radili smo izvode, hvala puno )

 

[Miss Adler]

Odredite maksimum i minimum funkcije : f (x,y)= x^2 y
uz uslov : x^2 + 2y^2=6 ako ima iko da mi pomogne, probala sam al mi ne ide, hvala!!

 

[Paganko]

Odredite maksimum i minimum funkcije : f (x,y)= x^2 y
uz uslov : x^2 + 2y^2=6 ako ima iko da mi pomogne, probala sam al mi ne ide, hvala!!

Evo sad ću ja.... Samo da pristavim ručak...

 

[Paganko]

Odredite maksimum i minimum funkcije : f (x,y)= x^2 y
uz uslov : x^2 + 2y^2=6 ako ima iko da mi pomogne, probala sam al mi ne ide, hvala!!

Neka je:

f (x,y)= x^2 y
g(x,y) = x^2 + 2y^2 - 6

Formiramo Lagranževu funkciju koja uključuje naš uslov:

F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

F(x,y,λ) = x^2 y + λ(x^2 + 2y^2 - 6)

Nađemo sve parcijalne izvode po promenjivim x,y i λ.

∂F/∂x = 2x*y + 2λx
∂F/∂y = x^2 + 4λy
∂F/∂λ = x^2 + 2y^2 - 6

Nakon ovoga stacionarne tačke dobijamo rešavanjem sistema jednačina:

∂F/∂x = 0
∂F/∂y = 0
∂F/∂λ = 0

0 = 2x*y + 2λx
0 = x^2 + 4λy
0 = x^2 + 2y^2 - 6

Rešenja sistema su:

x[SUB]1[/SUB] = -2 y[SUB]1[/SUB] = -1 λ[SUB]1[/SUB] = 1
x[SUB]2[/SUB] = -2 y[SUB]2[/SUB] = 1 λ[SUB]2[/SUB] = -1
x[SUB]3[/SUB] = 0 y[SUB]3[/SUB] = -sqrt(3) λ[SUB]3[/SUB] = 0
x[SUB]4[/SUB] = 0 y[SUB]4[/SUB] = sqrt(3) λ[SUB]4[/SUB] = 0
x[SUB]5[/SUB] = 2 y[SUB]5[/SUB] = -1 λ[SUB]5[/SUB] = 1
x[SUB]6[/SUB] = 2 y[SUB]6[/SUB] = 1 λ[SUB]6[/SUB] = -1

Ovo su stacionarne tačke za koje je potrebno ispitati da li su zaista tačke minimuma i maksimuma.

Dalje je potrebno odrediti totalni diferencijal Lagranževe funkcije II reda.

∂[SUP]2[/SUP]F/∂x[SUP]2[/SUP] = 2y + 2λ
∂[SUP]2[/SUP]F/∂x∂y = 2x
∂[SUP]2[/SUP]F/∂x∂λ = 2x
∂[SUP]2[/SUP]F/∂y[SUP]2[/SUP] = 4λ
∂[SUP]2[/SUP]F/∂y∂λ = 4y
∂[SUP]2[/SUP]F/∂λ[SUP]2[/SUP] = 0

d[SUP]2[/SUP]F = (2y + 2λ)dx[SUP]2[/SUP] + 4λdy[SUP]2[/SUP] + 4xdxdy + 4xdxdλ + 8ydydλ

Sada je neophodno pokazati da su stacionarne tačke zaista ekstremne vrednosti. Naime, tačka M(x[SUB]n[/SUB],y[SUB]n[/SUB],z[SUB]n[/SUB],λ[SUB]n[/SUB]) je uslovni maksimum ako je zadovoljen uslov da je F(x[SUB]n[/SUB],y[SUB]n[/SUB],z[SUB]n[/SUB],λ[SUB]n[/SUB]) < 0 za sve vrednosti diferencijala dx. dy i dλ, odnosno, tačka M(x[SUB]n[/SUB],y[SUB]n[/SUB],z[SUB]n[/SUB],λ[SUB]n[/SUB]) je uslovni minimum ako je zadovoljen uslov da je F(x[SUB]n[/SUB],y[SUB]n[/SUB],z[SUB]n[/SUB],λ[SUB]n[/SUB]) > 0 za sve vrednosti diferencijala dx. dy i dλ.

Pošto sistem ima 6 stacionarnih tačaka ja ću testirati samo prvu, a ostale ostavljam radoznalom čitaocu.

d[SUP]2[/SUP]F(x[SUB]0[/SUB],y[SUB]0[/SUB],z[SUB]0[/SUB],λ[SUB]0[/SUB]) = d[SUP]2[/SUP]F(-2,-1,1) = 4dy[SUP]2[/SUP] - 8dxdy - 8dxdλ - 8dydλ
= (4dy[SUP]2[/SUP] - 8dxdy + dx[SUP]2[/SUP]) - dx[SUP]2[/SUP] - 8dxdλ - 8dydλ
= (2dy - dx)[SUP]2[/SUP] + (- dx[SUP]2[/SUP] - 8dxdλ - 4dλ[SUP]2[/SUP]) + 4dλ[SUP]2[/SUP] - 8dydλ
= (2dy - dx)[SUP]2[/SUP] - (dx + 2dλ)[SUP]2[/SUP] + (4dλ[SUP]2[/SUP] - 8dydλ + dy[SUP]2[/SUP]) - dy[SUP]2[/SUP]
= (2dy - dx)[SUP]2[/SUP] - (dx + 2dλ)[SUP]2[/SUP] + (2dλ-dy)[SUP]2[/SUP] - dy[SUP]2[/SUP]

Pošto diferencijal menja znak za različite vrednosti dx, dy i dλ može se zaključiti da ovo nije tačka uslovne ekstremne vrednosti.

Hint: Potrebno je grupisati sve članove u kvadratni oblik kao. Ako svi budu istog predznaka onda imamo ekstremnu vrednost, jer diferencijal neće menjati znak za bilo koje vrednosti dx, dy i dλ.

Dakle, treba ispitati preostalih 5 tačaka.

 

[. . .]

Taj isti zadatak je mogao da se radi i malcice jednostavnije, zapravo da se posmatra sistem grad f(x, y) = \lambda grad g(x, y) i onda se resava sistem po lambda, x, y gde je treca jednacina g(x, y) = 0 i na kraju kad se nadju resenja ono sto mora da vazi, inace Lagranz odmah mada u vodu, je da je grad g(x_0, y_0) razlicit od 0, gde su (x_0, y_0) resenja predhodnog sistema. a odatle se vrlo lako traze ekstremi. Samo ubaci u f i sto je veca vrednost to ti je maksimum, sto je manja minimum i kraj price

 

[darkocar]

Moze neko da mi pomogne oko ovog sistema linearnih jednacina sa parametnom.

x +y +(a-2)z=1
2x +ay +az =2
-x +(1-a)y+az =2a+3
trazim rang ali mi se na kraju ne poklapa resenje sa wolframom
Ovo dobijam na kraju

1 1 a-2 | 1
0 a-2 -a+4 | 0
0 0 a+2 | 2a+4

i onda samo za a=-2 ima beskonacno mnogo resenja

dobijam sistem

x+y-4z=1
-4y+6z=0
iz druge imam trivijalno resenjev y=0,z=0 odakle sledi da je x =1 sto je ne poklapa sa wolframom.

 

[MathPhysics]

Moze neko da mi pomogne oko ovog sistema linearnih jednacina sa parametnom.

x +y +(a-2)z=1
2x +ay +az =2
-x +(1-a)y+az =2a+3
trazim rang ali mi se na kraju ne poklapa resenje sa wolframom
Ovo dobijam na kraju

1 1 a-2 | 1
0 a-2 -a+4 | 0
0 0 a+2 | 2a+4

i onda samo za a=-2 ima beskonacno mnogo resenja

dobijam sistem

x+y-4z=1
-4y+6z=0
iz druge imam trivijalno resenjev y=0,z=0 odakle sledi da je x =1 sto je ne poklapa sa wolframom.

Samo to?

 

[MathPhysics]

Sam si rekao da je za a=-2 rešenja beskonačno mnogo, a na kraju dao samo jedno. Treba jednu od promenjljivh da zameniš parametrom t recimo, pa onda dobijaš skup trojki određen preko tog parametra.

 

[darkocar]

Mogu da napisem da mi je jedna nepoznata slobodna(nezavisna) i da izrazim druge dve preko nje...

 

[MathPhysics]

Mogu da napisem da mi je jedna nepoznata slobodna(nezavisna) i da izrazim druge dve preko nje...

Da, to je ekvivalentno onom što sam ti napisao u zadnjoj poruci.

 

[darkocar]

Tako sam prvobitno radio ali mi se ne poklapa sa wolframom. Sad sam primetio da su oni uzeli x za slobodan clan pa zbog toga nije...

 

[Амбасадор]

Molim za pomoć pri rešavanju zadataka..
Rastaviti na činioce:

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

P.S. pokušavao sam da ga uradim više puta ali svaki put dobijem čudno rešenje za koje mislim da nije tačno.

 

[UltimaN]

Koje rešenje si ti dobio?

Kada izmnožiš sve, trebalo bi da dobijaš x[sup]4[/sup]+16x[sup]3[/sup]+86x[sup]2[/sup]+176x+120=(x+2)(x+6)(x[sup]2[/sup]+8x+10)

 

[MathPhysics]

Pomnoži prvi i četvrti član u proizvodu, kao i drugi i treći.

Tako se dobija (x[SUP]2[/SUP]+8x+7)(x[SUP]2[/SUP]+8x+15)+15. Onda se uvođenjem smene x[SUP]2[/SUP]+8x+7=t dobija:
t(t+8)+15=t[SUP]2[/SUP]+8t+15=(t+5)(t+3).

Onda ostaje da se vrati smena itd.

 

[bubamarica:)]

Odrediti najmanju vrijednost funkcije: f(x)=〖sin〗^100 x + 〖cos〗^100 x..
E sad, ja nekako mislim da bi se ovo trebalo resavati preko izvoda, medjutim nisam sigurna kako da onda postavim ''jednakost'', tj. da li bi mi recimo zbir njihovih izvoda bio 0, tj. tada bi bilo 〖cos〗^100 x = 〖sin〗^100 x ... Razmisljam li ispravno?

 

[MathPhysics]

Ako radiš preko izvoda, treba da nađeš izvod od celog izraza i izjednačiš ga sa nulom.
100 sin[SUP]99[/SUP]x cos x - 100 cos[SUP]99[/SUP]x sin x = 100 sin x cos x (sin[SUP]9[/SUP][SUP]8[/SUP]x-cos[SUP]98[/SUP]x)=0.

Rešenja po x daju kandidate za tačke u kojim funkcija dostiže ekstremne vrednosti.

 

[bubamarica:)]

Hvala za ovo objasnjenje
Zanima me jos da li su tacke koje se trebaju ispitati 0 i √2/2..po nekim mojim proracunima je tako, mada se bojim da nisam pogrijesila..?

 

[MathPhysics]

Kada su sin x i cos x nula onda je taj izvod isto nula, i te tačke odgovaraju maksimumu funkcije, koji iznosi 1.

Da bismo našli minimalnu vrednost, ostaje nam da rešimo sin[SUP]98[/SUP]x-cos[SUP]98[/SUP]x=0. Odatle je tg[SUP]98[/SUP]x=1. Ovu jednačinu zadovoljavaju rešenja jednačina tg x=1 i tg x=-1. Ovi uslovi pružaju rešenja koja odgovaraju minimumu polazne funkcije. Odavde nije potrebno računati x nego naći sin x i cos x preko tangensa i ubaciti to u polaznu funkciju, čime se dobija njen minimum.

 

[Metaman]

Ljudi, da li postoji formula kojom se resava jednacina treceg stepena? o.O aX^3+dX^2+cX+d=0, ne treba mi postupak, samo krajnja formula (ako takvo nesto postoji) bio bih duboko zahvalan!
,

 

[MathPhysics]

Postoji i za jednačinu trećeg i za jednačinu četvrtog stepena. Od petog nadalje ne, i ne može postojati. A što se tiče njenog oblika (za jednačinu trećeg stepena), malo duže je za pisanje. Potraži negde na internetu, zove se Kardanova formula.