Dobro, evo nešto opštijeg odgovora.
Pre svega treba objasniti pojam linearne zavisnosti vektora.
Određen broj vektora je linearno zavisan, ako postoji skup realnih koeficijenata takvih da je bar jedan član tog skupa različit od 0, a da se množenjem tih koeficijenata kao skalara sa tim vektorima i sabiranjem tako dobijenih vektora može dobiti nula vektor.
Drugim rečima, recimo ako imamo tri vektora, moraju postojati realni brojevi a,b,c od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je:
a vec(x) + b vec(y) + c vec(z) = vec(0)
da bi vektori vec(x), vec(y), vec(z) bili linearno zavisni.
Zašto sam ovo napisao? Zato što se baš u linearnoj (ne)zavisnosti vektora nalazi najbitniji element za ospitivanje kolinearnosti/komplanarnosti vektora.
Za same pojmove verujem da su ti poznati, prvi označva da leže na istom pravcu (istoj oravoj), a drugi da se nalaze u istoj ravni (kod tačaka je to analogno). Drugim rečima kod kolinearnosti, ako dva vektora možemo translacijom dovesti do toga da im se pravci poklope, onda su oni kolinearni. Sasvim logično, ovde se nazire veza sa linearnom zavisnoću.
Naime, važi:
-Da bi vektori a i b (=/= vec(0)) bili linearno zavisni moraju biti kolinearni
-Da bi vektori a,b,c (=/= vec(0)) bili linearno zavisni moraju biti komplanarni
Prema tome, kada želimo da ispitamo kolinearnost dva vektora moramo ispitati da li su linearno zavisni. Kada imamo više od dva vektora, a takođe hoćemo da ispitamo da li su kolinearni potrebno je da ispitamo kolinearnost bilo koja dva, pa kolinearnost nekog od njih sa trećim za slučaj od tri vektora, ukoliko ih je više, postupak je potpuno analogan.
Slično se radi i kada je reč o komplanarnosti vektora - tu treba da dokažemo da su tri vektora linearno nezavisna. Za više vektora može se postupati analogno kao kod prelaska sa kolinearnosti dva na više od dva vektora.
Međutim kako ispitati da li su vektori linearno zavisni ili ne?
Neka su dati vektori:
vec(a), vec(b) u ravni sa koordinatama (x[SUB]1[/SUB], y[SUB]1[/SUB]) i (x[SUB]2[/SUB], y[SUB]2[/SUB]), respektivno.
Tada moraju postojati koeficijenti p i q takvi da je:
p vec(a) + q vec(b) = vec(0)
Ako se ubaci koordinate:
p(x[SUB]1[/SUB], y[SUB]1[/SUB]) + q (x[SUB]2[/SUB], y[SUB]2[/SUB]) = (0,0)
Koristeći se osnovnim pravilima o sabiranju vektora sa datim koordinatama i množenjem sa skalarom:
px[SUB]1[/SUB] + q x[SUB]2[/SUB] = 0
py[SUB]1[/SUB] + q y[SUB]2[/SUB] = 0
Rešenje ovog sistema je jasno (p, q)=(0,0), ako je diskriminanta sistema =/= 0.
U suprotnom mogu postojati brojevi p i q od kojih je bar jedan različit od 0 takvi da ispunjavaju uslove linearne zavisnosti vektora.
Prema tome,
|x[SUB]1[/SUB] x[SUB]2[/SUB] |
|y[SUB]1[/SUB] y[SUB]2[/SUB] |
treba da bude jednako nuli. Ako je uslov ispunjen vektori su linearno zavisni, a samim tim kolinearni.
Slično, za sistem od tri vektora u prostoru sa dodeljenim koordinatama po x,y,z osi:
|x[SUB]1[/SUB] x[SUB]2[/SUB] x[SUB]3[/SUB]|
|y[SUB]1[/SUB] y[SUB]2[/SUB] y[SUB]3[/SUB]|
|z[SUB]1[/SUB] z[SUB]2[/SUB] z[SUB]3[/SUB]|
važi da ukoliko je ova diskriminanta jednaka nuli vektori su linearno zavisni, samim tim i komplanarni.
Slično se može raditi i sa više vektora u prostoru.
Malo drugačiji metod je pošto se shvati vektorski i skalarni proizvod vektora, o njemu ću nešto kasnije danas nešto da napišem.
.
