Matematika - pomoć pri rešavanju zadataka (obavezno pročitati uputstva u prvom postu)

[GreyLord]

Evo, u međuvremenu još jedan zadatak.
Po planu drvoseča je dužan da spremi 6m[SUP]3[/SUP] drva za loženje. Međutim, on je svakodnevno prebacivao plan za 60% i na taj način, 12 dana pre roka, prebacio ukupan plan za 226,8m[SUP]3[/SUP]. Koliko kubnih metara drva je pripremio drvoseča?
Vidite sad, da ovaj drvoseča nije počeo da se pravi pametan i da je polagano završavao posao, on završi pre roka, i natera mene da postavim ovde zadatak.
Ukratko, mislim da se rešava preko broja dana, ali ne znam kako...

 

[Realno Nerealan]

Peđa kružnu stazu pretrči za 24 minuta. Ako Dejan i Peđa trče različitim smerovima, onda se na stazi susretnu posle 9 minuta. Ako Dejan i Peđa trče istim smerom, posle koliko vremena će se sresti i kada će se prvi put istovremeno naći u početnoj poziciji?

 

[Rammona]

Evo, u međuvremenu još jedan zadatak.
Po planu drvoseča je dužan da spremi 6m[SUP]3[/SUP] drva za loženje. Međutim, on je svakodnevno prebacivao plan za 60% i na taj način, 12 dana pre roka, prebacio ukupan plan za 226,8m[SUP]3[/SUP]. Koliko kubnih metara drva je pripremio drvoseča?
Vidite sad, da ovaj drvoseča nije počeo da se pravi pametan i da je polagano završavao posao, on završi pre roka, i natera mene da postavim ovde zadatak.
Ukratko, mislim da se rešava preko broja dana, ali ne znam kako...

x dana ; 6 m"3/dan ; 6x m"3
x-12 dana ; 9,6m"3/dan ; 6x+226,8 m"3

9,6(x-12)=6x+226,8
...
x=95 dana
95 dana i 6 m"3 drva po danu je 570 m"3 drva


Prethodni zadatak bi trebalo da je lak. Proveri da li si ga dobro zapisao.

 

[NemanjaNS90]

Peđa kružnu stazu pretrči za 24 minuta. Ako Dejan i Peđa trče različitim smerovima, onda se na stazi susretnu posle 9 minuta. Ako Dejan i Peđa trče istim smerom, posle koliko vremena će se sresti i kada će se prvi put istovremeno naći u početnoj poziciji?

Uzmi da je staza dugacka s. Tada Pedja trci s/24. Za 9 minuta pretrci 9s/24=3s/8. Posto su se sreli, dejan je pretrcao s-3s/8=5s/8 a posto je trcao 9 miuta, onda ond trci brzinom 5s/72. Ako trce u istom smeru, pretrcace ts/24 i 5ts/72 pa ce razlika biti 5ts/72-ts/24=5ts/72-3ts/72=2ts/72=ts/36. Posto su se sreli, znaci da je ts/36=s pa je t=36. trcali su 36 minuta.

 

[NemanjaNS90]

U 0,5t rude sadrzi se izvesna kolicina gvozdja. Posto je odbaceno 0,2t raznih primesa, koje sadrze prosecno 12,5% gvozdja, procenat gvozdja u preostaloj rudi povecao se na 20. Koliko je gvozdja ostalo u rudi?
Zadatak mi izgleda lak i cini mi se da ima visak informacija, ali sam verovatno nesto prevideo... Ovako, preostala ruda je 0,3t teska, a 20% gvozdja od toga se lako izracuna. ?

Nesto nije u redu sa zadatkom. Tj. tvoje resenje je ok, ali nema smisla da daju toliko informacija. Moguce da je neka greska u postavci.

 

[Baraba na kvadrat]

Kako da resim nejednacinu 5[SUP]x[/SUP]+x-20>0

 

[UltimaN]

Hm... ovde je problem odrediti kada je to =0
Znamo da je to negde između 1 i 2 (za x=1 imamo 6-20, dok za x=2 imamo 35-20)

Nemam pojma, ništa mi ne pada na pamet... Rešenje ispada x>1,80266

 

[Baraba na kvadrat]

Hm... ovde je problem odrediti kada je to =0
Znamo da je to negde između 1 i 2 (za x=1 imamo 6-20, dok za x=2 imamo 35-20)

Nemam pojma, ništa mi ne pada na pamet... Rešenje ispada x>1,80266

Inace ovo je uzeto iz uslova logaritamske nejednacine . A i krajnja jednacina kada se resava dobija se nesto na slican fazon .5^x u kombinaciji sa x

 

[MathPhysics]

Inace ovo je uzeto iz uslova logaritamske nejednacine . A i krajnja jednacina kada se resava dobija se nesto na slican fazon .5^x u kombinaciji sa x

Daj početni zadatak, nemoj te pracijalne, siguran sam da postoji olakšica kojom se početni može rešiti tačno.

Ovo što si dao bi se verovatno moglo rešiti pomoću Lambertove funkcije, ali to ne verujem da ti treba.

Približno rešenje se međutim lako dobija. S obzirom da prvi izvod funkcije 5^x + x - 20 iznosi ln5 * 5^x +1 >0 za svako x funkcija je monotono rastuća.

Pošto je f(1)<0, a f(2)>0, a funkcija je neprekidna na intervalu [1,2] sledi da, pošto funkcija na njemu menja znak onda je bar jedna nula ove funkcija na tom intervalu. Međutim zbog monotonosti to je i jedina nula ove funkcije. Ako je a nula ove funkcije za svako x>a zbog rasta funkcija biće f(x)>f(a)=0. Analogno, za svako a>x, važi f(a)>f(x), tj. f(x)<0.

Prema tome, rešenje nejednačine je (a, + beskonačno), gde je a neki broj iz intervala 1<a<2.

Do ovog intervala se dolazi i ovako. Pošto je za f(1)<0, sledi da da brojevi x<1 ne mogu biti zbog monotonosti rešenja.

S obzirom da 5^x + x - 20 = 5^x + x - 25 + 5 = 5^x - 25 + x+ 5, a za x>=2, 5^x-25>=0, a x+5>0, sledi da je za sve vrednosti veće od 2 f(x)>0.

Dakle preostaje da se odredi nula funkcije 5^x + x - 20.

Dakle 5^x + x - 20 =0, odnosno 5^x = 20 - x

Približna vrednost nule se može naći grafički. Lako se crta grafik eksponencijalne i linerarne funkcije i onda se u njihovom preseku nalazi vrednost x.

Inače oblast rešenja se može dodatno suziti ako se recimo primeti da je f(1,7)<0, a f(1,9)>0, odakle je 1,7<a<1,9. Šta više f(1,79)<0, a f(1,81)>0, pa je približna vrednost a=1,8.

 

[Baraba na kvadrat]

log ( 5[SUP]x[/SUP]+x-20) > x-x*log 2

 

[UltimaN]

Joj bre... Rešenje nejednačine je x>20, tako da ti ni ne treba taj uslov.

 

[MathPhysics]

Joj bre... Rešenje nejednačine je x>20, tako da ti ni ne treba taj uslov.

Baš tako...

 

[MathPhysics]

Da napišem postupak...

log ( 5[SUP]x[/SUP]+x-20) > x-x*log 2
log (5[SUP]x[/SUP]+x-20)+log2[SUP]x[/SUP]>x
log (2[SUP]x[/SUP]*(5[SUP]x[/SUP]+x-20))>log 10[SUP]x[/SUP]
10[SUP]x[/SUP] +x * 2[SUP]x[/SUP]-20*2[SUP]x[/SUP]>10[SUP]x[/SUP]
2[SUP]x[/SUP]*x >20*2[SUP]x[/SUP]
2[SUP]x[/SUP](x-20)>0
2[SUP]x[/SUP]>0, pa je x-20>0, tj. x>20.

 

[Baraba na kvadrat]

Da napišem postupak...

log ( 5[SUP]x[/SUP]+x-20) > x-x*log 2
log (5[SUP]x[/SUP]+x-20)+log2[SUP]x[/SUP]>x
log (2[SUP]x[/SUP]*(5[SUP]x[/SUP]+x-20))>log 10[SUP]x[/SUP]
10[SUP]x[/SUP] +x * 2[SUP]x[/SUP]-20*2[SUP]x[/SUP]>10[SUP]x[/SUP]
2[SUP]x[/SUP]*x >20*2[SUP]x[/SUP]
2[SUP]x[/SUP](x-20)>0
2[SUP]x[/SUP]>0, pa je x-20>0, tj. x>20.

Istina

Zapeo sam kod jos jednog .

sin (3x) + cos (3x) = sqrt(2)

Secam se fore kod ovakvih zadataka ali ovde mi je neprimenjiva . Deljenjem sa dva nista ne dobijam posebno .

1/2 * sin 3x + 1/2* cos 3x = sqrt(2)/2

sada proizvod dva sinusa i dva kosinusa , i nista ne dobijam . Kao trebalo bi nesto da se skrati, ne ?

 

[Rammona]

Istina

Zapeo sam kod jos jednog .

sin (3x) + cos (3x) = sqrt(2)

Secam se fore kod ovakvih zadataka ali ovde mi je neprimenjiva . Deljenjem sa dva nista ne dobijam posebno .

1/2 * sin 3x + 1/2* cos 3x = sqrt(2)/2

sada proizvod dva sinusa i dva kosinusa , i nista ne dobijam . Kao trebalo bi nesto da se skrati, ne ?

sqtr(2)=2*sqrt(2)/2=sin(pi)/4+cos(pi)/4
onda mozes sinuse na jednu stranu, a kosinuse na drugu

 

[Baraba na kvadrat]

sqtr(2)=2*sqrt(2)/2=sin(pi)/4+cos(pi)/4
onda mozes sinuse na jednu stranu, a kosinuse na drugu

Zanimljiva ideja . Hvala

 

[Rammona]

Zanimljiva ideja . Hvala

Nema na cemu.

 

[MathPhysics]

Osim toga mogao bi sinus da pretvoriš u kosinus (ili obrnuto), pa da primeniš formulu za zbir sinusa (kosinusa).

Dakle cos 3x = sin(pi/2-3x)

Onda ti ostaje da primeniš formulu za zbir dva sinusa na:
sin(pi/2 -3x) + sin 3x

Dobija se isto...

 

[UltimaN]

Istina

Zapeo sam kod jos jednog .

sin (3x) + cos (3x) = sqrt(2)

Secam se fore kod ovakvih zadataka ali ovde mi je neprimenjiva . Deljenjem sa dva nista ne dobijam posebno .

1/2 * sin 3x + 1/2* cos 3x = sqrt(2)/2

sada proizvod dva sinusa i dva kosinusa , i nista ne dobijam . Kao trebalo bi nesto da se skrati, ne ?

A mogao bi i da kvadriraš obe strane...

1+2sin3xcos3x=2
sin6x=1

 

[MathPhysics]

Ili da podeliš sa korenom iz dva ...

Onda je:
sin3x*cos(pi/4) + cos 3x* sin (pi/4) =1
sin(3x+pi/4)=1

 

[MathPhysics]

Evo još.

Ili da se sin 3x izrazi preko sin x, a cos 3x preko cos x.

Tada se dobija:
4(cos[SUP]3[/SUP]x - sin[SUP]3[/SUP]x)-3(cos x - sin x) =1
4(cos x -sin x)(1+sin2x / 2)-3(cos x - sin x) =1

Onda se uvede smena:
cos x - sin x =t

Tada je sin2x =(1-t[SUP]2[/SUP])/2

4t(1+(1-t[SUP]2[/SUP])/4)-3t=1

Što je jednačina trećeg stepena po t, koja se onda reši...

 

[MathPhysics]

A mogao bi i da kvadriraš obe strane...

1+2sin3xcos3x=2
sin6x=1

Iako je rešenje lepo i jednostavno, rekao bih da nije sasvim ispravno...

Zašto? Zato što leva strana može biti negativan broj. Evo recimo da su i sinus i kosinus od 3x oba -sqrt(2)/2. Tada bi bilo:

-sqrt(2)/2-sqrt(2)/2 = sqrt(2)
-sqrt(2)=sqrt(2)

Ovo naravno nije tačno.
Međutim, ako se kvadrira, ovo postaje:
2=2, što je tačno.

Tako si i ti kvadriranjem jednačine načinio grešku, jer sin3x+cos3x ne mora biti pozitivan broj, pa se tako dobija pogrešan skup rešenja.

 

[UltimaN]

Yup, ali se mogu isključiti kao potencijalna rešenja pre kvadriranja (pošto zbir očigleno mora biti veći od 0)

 

[MathPhysics]

Ok, rešimo po ovom mom.

sin3x*cos(pi/4) + cos 3x* sin (pi/4) =1
sin(3x+pi/4)=1
3x+pi/4 = pi/2 + 2k*pi
3x=pi/4+ 2*k*pi
x=pi/12 + 2*k*pi /3

A sad po tvom:

sin 6x= 1
6x=pi/2 + 2k*pi
x=pi/12 + k*pi/3

Vidiš da su rešenja različita.

 

[MathPhysics]

Evo, recimo jedno rešenje sin 6x=1 je pi/12 + pi/3 =5pi/12.

sin (3x+pi/4) = sin (5pi/4 + pi/4) =sin (3pi/2) =-1

Jasno da to onda nije rešenje jednačine sin 3x + cos 3x =sqrt(2).

Prema tome jednačine sin 6x=1 i sin 3x + cos 3x=sqrt(2) nisu ekvivalentne, tj. nisu sva rešenja jednačine sin 6x=1 istovremeno i rešenja sin 3x + cos 3x=sqrt(2), već samo ona sa parnom vrednošću k.