Нијеси баш прецизно исписа да ли се ради о разлици 2 коријена или је тај лимес од коријена,но свеједно ја ћу само урадити онај први дио лимеса (лакши је од другог ,зар не?):
lim[SUB]x-->0[/SUB]√(1+x•sinx)=√(1+lim[SUB]x-->0[/SUB](x)•lim[SUB]x-->0[/SUB](sinx))=1
Зашто?
Јер ф-ја     f(x) = х     брже тежи од ф-је   f(x)= sin x или још краће -  кад се х приближава 0 њен лимес је очигледно једнак 0,па кад множимо ова два лимеса непрекидних ф-ја у близини тачке 0 њихов производ јесте 0. 
 
За други дио - представи све преко cos или преко tg...
lim[SUB]x-->0[/SUB]  [√(cos[SUP]2[/SUP] (2x)]/tg[SUP]2[/SUP] (x/2)
искористи да је  cos[SUP]2[/SUP] (x/2)= 1/(1+tg[SUP]2[/SUP] (x/2))
или  cos[SUP]2[/SUP]x =1/(1+tg[SUP]2[/SUP] x)
ваљда ћеш нешто и добит...
П.С.Ако се ради о лимесу коријена обе ф-је онда је резултат :
lim_(x->0) sqrt(1+x sin(x)-sqrt(cos(2 x)))/(tan^2(x/2)) =∞