Hvala, lepa sve mi je kristalno jasno a danas idem u pohode na parcijalnu integraciju
Parcijalnu integraciju? Pa nije to ništa specijalno što se tiče samog postupka. Pitanje je šta je to parcijalni izvod i čemu služi... Jać ću se ograničiti na funkcije 2 promenjive, a sve to važi i za funkcije sa n promenjivih. Funkcija 2 realne promenjive z = f(x,y) je skup uređenih trojki (x,y,f(x,y)). Očito da je domen ove funkcije D=S{(x,y)} skup uređenih parova (x,y) koji se može grafički predstaviti kao deo površi u x-y ravni.
Stoga, funkcija 2 promenjive se može predstaviti kao neka površ u 3D Dekartovom koordinatnom sisemu. Jedna takva površ hiperbolički paraboloid:
z=x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/QuadricSurfaces_files/image007.gif
E pa šta bi bio prvi parcijalni izvod po x i y ove funkcije?
∂z[SUB]x[/SUB] = 2x
∂z[SUB]y[/SUB] = 2y
On kazuje koliko se funkcija menja u okolini neke tačke ako jednu veličinu držimo konstantnom a drugu menjamo. Geometrijski prvi parcijalni izvod funkcije 2 promenjive u nekoj tački je koeficijent pravca tangente pralelne sa osom po kojoj tražimo parcijalni izvod ∂z[SUB]x[/SUB] bi bio koeficijent pravca tangente u nekoj tački, paralelan sa x osom.
Ovde treba definisati i totalni diferencijal funkcije 2 promenjive kao:
dz = ∂z[SUB]x[/SUB]dx + ∂z[SUB]x[/SUB]dy
Primetimo da se za 1 promenjivu on svodi na prvi izvod. Ovo je dakle jedno proširenje pojma izvoda bez ograničenja na broj promenjivih.
Drugi parcijalni izvod funkcije dve promenjive je logično izvod po svim prvim parcijalnim izvodima:
∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]xx[/SUB] = ∂(∂z[SUB]x[/SUB])[SUB]x[/SUB]
∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]xy[/SUB] = ∂(∂z[SUB]x[/SUB])[SUB]y[/SUB]
∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]yx[/SUB] = ∂(∂z[SUB]y[/SUB])[SUB]x[/SUB]
∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]yy[/SUB] = ∂(∂z[SUB]y[/SUB])[SUB]y[/SUB]
Treba napomnuti i jednu teoremu:
∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]xy[/SUB] = ∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]yx[/SUB]
koju navodim bez dokaza.
Totalni diferencijal II reda funkcije dve promenjive bio bi:
d[SUP]2[/SUP]z = ∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]xx[/SUB]dx [SUP]2[/SUP]+2∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]xy[/SUB]dxdy+∂[SUP]2[/SUP]z[SUB]yy[/SUB]dy[SUP]2[/SUP]
Za izvode višeg reda možete pretpostaviti sistem izvođenja.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ovde toliko, jer nismo razmotrili veze osobine izvoda funkcije i same funkcije ni kod jedne promenjive, pa ne možemo previše zalaziti ni u ovu priču.
Dodaću smo još jednu važnu činjenicu:
Ako pogledamo bilo koju funkciju 2 promenjive (i više promenjivih, ali njih ne možemo predstaviti u d3 prostoru, a u hipersvemir još uvek ne možemo na časove matematike) možemo videti da ona u svakoj tački ima beskonačno mnogo tangenti, a mi smo za definicije parcijalnih izvoda odabrali samo one paralelne sa određenim pravcima. Pitanje je, zašto je to tako?
Jer smo se tako dogovorili. Samo zato. Tako dolazimo do još jednog uopštenja pojma izvoda, a to je izvod u pravcu. Ovo doduše već pomalo zalazi u oblast vektorske analize, pa se neću time baviti, tek da napomenem, da ne bude zabune.
Nesto sam pretumbao i stvarno je ispalo tacno . 
