Probaj smenom. Recimo t=x2+2x+4, pa ti jednačina dobija sledeći oblik:
t(t-1)=t+3
t2-2t-3=0
t1=3
t2=-1
-1 otpada jer tada nema realnog x-a
Za t=3 dobijaš jeinstveno rešenje (x=-1)
Dakle, meni ne pada nista drugo na pamet osim jedne stvari, a to je da sve lepo izmnozimo sto i nije tako komplikovano:
x4+2x3+3x2+2x3+4x2+6x+4x2+8x+12=x2+2x+7
x4+4x3+10x2+12x+5=0
Posto resenje nije ocigledno i ne mozemo da izvucemo nikako x da bismo dobili neku prostiju jednacinu upotrebicemo teoremu koja se radi negde u drugom srednje samo je se djaci nerado ili uopste ne secaju U pitanju je Bezuov stav koji kaze sledece:
__________________________________________________ ________________________
Bezuov stav
Ako je dat polinom P(x) (U nasem slucaju mi mozemo reci da je
x4+4x3+10x2+12x+5=0 jedan polinom P(x) (polinom u funkciji od x)) i ako postoji neki broj a za koji vazi da je P(a)=0 onda broj (x-a) sigurno MORA da deli polinom P(x) .
Sto ce reci sledece, recimo :
P(x) : x3+5x2+5x-11=0 je neki polinom, hajde da vidimo kako se primenjuje teorema . Dakle "setamo" redom brojeve od 1 pa na dalje ali naravno i sa negativnim predznakom, odnosno +/- 1 , +/-2, +/-3 ....
Pa da vidimo P(1)=13+5*12+5*1-11=1+5+5-11=0 Aham znaci ovaj polinom (P(x) : x3+5x2+5x-11=0) je sigurno deljiv sa (x-a) odnosno (x-1) . Ja sam namerno dao ovakav primer koji je lakeg tipa da bih objasnio mehanizam ove teoreme koja je vrlo prakticna. Da ne pricam po mnogo, znam iz iskustva da se moji drugovi i drugarice nerado secaju ove morate priznati jako pametne i korisne teoreme i radije pribegavaju mozganjem da pre dobijenog komplikovanog izraza nesto izvuku ispred zagrade da dobiju proizvod a "pametni" matematicari o tome naravno ne brinu i samo sljakaju jer znaju da je to gospodin Bezue
Zasto nam je ovo korisno pitas se verovatno ?! Pa evo zasto ...
Ako kazemo da je broj 6 deljiv brojem 3 sto je tacno naravno, mi mozemo reci sledece :
"Aham, broj sest onda mogu zapisati kao proizvod broja 3 i nekog drugog broja" tj
6=3*x ali je nama ociglednno da je u ovom slucaju x=2 odnosno 6 mopgu zapistai kao 3*2. Kod polinoma isti "mehanizam" mozemo primeniti, ako znam jedan njegov delioc (ili "nula" kako se on zove kod polinoma ali i kod kvadratne jednacine) onda nam je sve reseno .
__________________________________________________ ________________________
Sada kada znamo da koristimo B.S mozemo preci na konretan zadatas, "nas" zadatak .
Dobili smo dakle polinom P(x)=x4+4x3+10x2+12x+5=0
Idemo redom, metodom isprobavanja da trazimo taj broj "a"
P(1)=1+4+10+12+5 sigurno nije 0
P(-1)=1-4+10-12+5=0
Obicno su ti prvi brojevi , i isprobava se do oko 5, ako nisu oni onda smatraj da si mozda pogresio pa proveri dobijeni polinom . Naravno to ne mora da bude nuzno tacno .
Sada kada znamo da je broj a zapravo -1 odnosno a=-1 mozemo reci da (x-a) deli P(x) sto matematicki zapisujemo (x-a) | P(x) odnosno (x-a)*k=P(x) tj polinom mozemo zapisati kao proizvod njegovog delioca i nekog tamo ostatka nazovimo ga k (3|6 => 3*k=6)
Odnosno kako je a=-1 znamo da (x+1)|x4+4x3+10x2+12x+5=0
Zasto nam je ovo bitno, iz prostog razlosga kao i kod kvadratne jednacine, bitno nam je da nam je na jednoj strani nula a desno sto je da zapisemo kao neki proizvod da mozemo da primenimo logiku "Proizvod k broja je nula kada je jedan od ta k broja nula" odnosno
k*y=0 <=> k=0 v y=0
Jer mi time resavamo nasu jednacinu, trazeci njene "nule"
Za sada znamo da (x+1)*k=x4+4x3+10x2+12x+5=0
Pa mozemo sa sigurnoscu reci sledece:
<=> (x+1)=0 v k=0
<=> x=-1 v k=0
Ovo k dobijamo prostom deobom polinoma x4+4x3+10x2+12x+5=0 sa (x+1) i to kada se podeli dobija se x3+3x2+7x+5 sto nikada nije jednako nula sto znam isto primenom B.S Ali to ostavljam tebi da probas.
Dakle jedino resenje ove jednacine je x=-1
P.S Nemoj da te cudi sto k ne moze biti nula, zapravo i kvadratna jednacina nekad ne moze imati R resenja, isto kao i ova kubna jednacina, naravno resenja mozemo treaziti u imaginarnim brojevima sto nije pozeljno niti preporucljivo
P.P.S Kao sto si video B.S je veoma koristan za resavanje jednacine sa velikim stepenima . Isto tako B.S moze se primenjivati i na obicne polinom, polinom drugog reda npr, probaj primenom BS da nadjes resenja kvadratnih jednacina iz zbirke, okreni poglavlje Kvadratna jednacina pa sljakaj i uvezbavaj , koristice ti puno