Evo za Raselov paradox. Bertrand Rasel je bio Britanski matematičar koji je prilično uzdrmao matematiku početkom 20. veka. Skup je prilično elementarni matematički pojam i skup kao takav utiče na ogroman broj drugih matematičkih entiteta.
Beskonačni skupovi se ne opisuju nabrajanjem njihovih elemenata, već opisom neke zajedničke osobine. Dugo se smatralo da svaki skup definisan na ovaj način jeste i ispravno definisan skup. Tada je Rasel postavio pitanje koje je ovo uverenje bacilo u vodu. Pitanje glasi: "Da li skup svih skupova koji ne sadrže sebe, sadrži sebe?".......
Ovo ipak nije tako strašno kako izgleda. :smile:
Skup kao svoje elemente može da sadrži druge skupove. Na primer skup R={{1,2,3},{1,2},{5,6,7}}, sadrži tri skupa. Dalje, skup može da sadrž i sam sebe. Evo jedne takve definicije: "Skup svih skupova koji imaju više od dva elementa!". Pošto takvih skupova ima više od dva, i on sam će sadržati više od dva elementa, pa će biti deo samog sebe......uh!
E sad, u vezi Raselovog paradoksa. Definišimo skup R kao: "Skup svih skupova koji ne sadrže sebe". Skupove sa osobinom da sadže same sebe nazovimo N-skupovima. Skup R, prema tome, predstavlja skup svih onih skupova koji nisu N-skupovi. Postavljamo pitanje, da li R sadrži sam sebe? Dakle, da li je R, ustvari N-skup?
Pretpostavimo da R ne sadrži sebe, to znači da nije N-skup. Pošto je R skup svih skupova koji nisu N-skupovi, tada bi ipak trebao da sadži sam sebe što je kontradikcija sa početnom pretpostavkom. To znači da moramo da pretpostavimo suprotno - da R ipak sadrži sebe. Međutim ni to nije moguće! Da je tako, R bi bio N skup. A pošto R sadrži samo skupove koji nisu N-skupovi, on ne može sadržati sebe!
Znači, okreni, obrni, evo jedne naizgled valjane definicje skupa, koja uopšte ne može biti biti definicija!
Matematika dugo nije uspela da prevaziđe probleme koje na koje je ukazao Raselov paradoks.
Eto, izvinjavam se zbog opširnosti. ;-)
