Задачић

Да би уређена тројка ሺݔ, ݕ, ݖሻ представљала примитивно решење једначине
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ у скупу природних бројева, неопходно је и довољно да се ݔ, ݕ, ݖ изражавају
у облику
ݔ ൌ 2݉݊, ݕ ൌ ݉ଶ െ ݊ଶ, ݖൌ݉ଶ ൅ ݊ଶ
(݉, ݊ ߳ ࡺ, ሺ݉, ݊ሻ ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и ݉, ݊ различите парности)
или
ݔൌ݉ଶ െ ݊ଶ, ݕ ൌ 2݉݊, ݖ ൌ ݉ଶ ൅ ݊ଶ
(݉, ݊ ߳ ࡺ, ሺ݉, ݊ሻ ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и ݉, ݊ различите парности).
Доказ: Нека је ሺݔ, ݕ, ݖሻ примитивно решење једначине ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ. Показаћемо најпре
да од бројева ݔ и ݕ један мора бити паран, а други непаран и да ݖ мора бити непаран
број. Ако су ݔ и ݕ оба парни, тада је и ݖ паран број, па се једначина може скратити, тј.
посматрана тројка није примитивно решење. Ако су ݔ и ݕ оба непарни тада је ݖଶ ൌ ݔଶ ൅
ݕଶ ≡ 1 ൅ 1 ൌ 2 ሺm݋݀ 4ሻ, што је немогуће.
Нека је ݔ ൌ 2ܽ паран, а ݕ непаран број. Тада је ݖ непаран број. Дата једначина се може
написати у облику
ݔଶ ൌ ݖଶ െ ݕଶ ൌ ሺݖെݕሻሺݖ൅ݕሻ.
Оба чиниоца на десној страни су парни бројеви, па су бројеви
ൌ ݑ
ݕ൅ݖ
2 и ݒ ൌ
ݕെݖ
2
цели. Тада је ݔଶ ൌ 4ܽଶ ൌ 4ݒݑ, тј. ܽଶ ൌ ݒݑ.
Из ݖ ൌ ݑ ൅ ݒ, ݕ ൌ ݑ െ ݒ закључујемо да је ሺݑ, ݒሻ ൌ 1. На основу теореме ૛ следи да они
морају бити квадрати целих бројева: ݑൌ݉ଶ и ݒ ൌ ݊ଶ, при чему ݉ и ݊ немају заједничких
делилаца и различите су парности. Дакле, добијамо да је ݔ ൌ 2ܽ ൌ 2݉݊, ݕ ൌ ݑ െ ݒ ൌ
݉ଶ െ ݊ଶ, ݖൌݑ൅ݒൌ݉ଶ ൅ ݊ଶ, при чему су ݉, ݊ ∈ ࡺ,) ݉, ݊(ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и бројеви ݉ и ݊
су различите парности. Лако се проверава да је:
ሺ݉ଶ െ ݊ଶሻଶ ൅ ሺ2݉݊ሻଶ ൌ ݉ସ ൅ 2݉ଶ݊ଶ ൅ ݊ସ ൌ ሺ݉ଶ ൅ ݊ଶሻଶ,
тј. да тројка (ݔ, ݕ, ݖሻ задовољава једначину ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ.
Слично, ако је ݕ паран број добијамо да је тројка (ݔ, ݕ, ݖሻ другог од описаних облика.
Kako vam ovo izgleda🙂
 
Dragoljub--:
Да би уређена тројка ሺݔ, ݕ, ݖሻ представљала примитивно решење једначине
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ у скупу природних бројева, неопходно је и довољно да се ݔ, ݕ, ݖ изражавају
у облику
ݔ ൌ 2݉݊, ݕ ൌ ݉ଶ െ ݊ଶ, ݖൌ݉ଶ ൅ ݊ଶ
(݉, ݊ ߳ ࡺ, ሺ݉, ݊ሻ ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и ݉, ݊ различите парности)
или
ݔൌ݉ଶ െ ݊ଶ, ݕ ൌ 2݉݊, ݖ ൌ ݉ଶ ൅ ݊ଶ
(݉, ݊ ߳ ࡺ, ሺ݉, ݊ሻ ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и ݉, ݊ различите парности).
Доказ: Нека је ሺݔ, ݕ, ݖሻ примитивно решење једначине ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ. Показаћемо најпре
да од бројева ݔ и ݕ један мора бити паран, а други непаран и да ݖ мора бити непаран
број. Ако су ݔ и ݕ оба парни, тада је и ݖ паран број, па се једначина може скратити, тј.
посматрана тројка није примитивно решење. Ако су ݔ и ݕ оба непарни тада је ݖଶ ൌ ݔଶ ൅
ݕଶ ≡ 1 ൅ 1 ൌ 2 ሺm݋݀ 4ሻ, што је немогуће.
Нека је ݔ ൌ 2ܽ паран, а ݕ непаран број. Тада је ݖ непаран број. Дата једначина се може
написати у облику
ݔଶ ൌ ݖଶ െ ݕଶ ൌ ሺݖെݕሻሺݖ൅ݕሻ.
Оба чиниоца на десној страни су парни бројеви, па су бројеви
ൌ ݑ
ݕ൅ݖ
2 и ݒ ൌ
ݕെݖ
2
цели. Тада је ݔଶ ൌ 4ܽଶ ൌ 4ݒݑ, тј. ܽଶ ൌ ݒݑ.
Из ݖ ൌ ݑ ൅ ݒ, ݕ ൌ ݑ െ ݒ закључујемо да је ሺݑ, ݒሻ ൌ 1. На основу теореме ૛ следи да они
морају бити квадрати целих бројева: ݑൌ݉ଶ и ݒ ൌ ݊ଶ, при чему ݉ и ݊ немају заједничких
делилаца и различите су парности. Дакле, добијамо да је ݔ ൌ 2ܽ ൌ 2݉݊, ݕ ൌ ݑ െ ݒ ൌ
݉ଶ െ ݊ଶ, ݖൌݑ൅ݒൌ݉ଶ ൅ ݊ଶ, при чему су ݉, ݊ ∈ ࡺ,) ݉, ݊(ൌ 1, ݉ ൐ ݊ и бројеви ݉ и ݊
су различите парности. Лако се проверава да је:
ሺ݉ଶ െ ݊ଶሻଶ ൅ ሺ2݉݊ሻଶ ൌ ݉ସ ൅ 2݉ଶ݊ଶ ൅ ݊ସ ൌ ሺ݉ଶ ൅ ݊ଶሻଶ,
тј. да тројка (ݔ, ݕ, ݖሻ задовољава једначину ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݖଶ.
Слично, ако је ݕ паран број добијамо да је тројка (ݔ, ݕ, ݖሻ другог од описаних облика.
Kako vam ovo izgleda🙂
Kliknite za proširenje...
مساحة المربع الذي ضلعه الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين على الضلعين الآخرين. ;)
 

..."Theorem​

Take 44 consecutive 44 consecutive Fibonacci numbers:

Fn,Fn+1,Fn+2,Fn+3��,��+1,��+2,��+3
Let:

a:=FnFn+3�:=����+3b:=2Fn+1Fn+2�:=2��+1��+2c:=F2n+3�:=�2�+3

Then:

a2+b2=c2�2+�2=�2
and:

ab2=Fn×Fn+1×Fn+2×Fn+3��2=��×��+1×��+2×��+3

That is, if the legs of a right triangle are the product of the outer terms and twice the inner terms, then:

the hypotenuse is the Fibonacci number whose index is half the sum of the indices of the four given Fibonacci numbers.the area is the product of the four given Fibonacci numbers..."
Na moje pitanje,da li Fibonačijev niz i trojke imaju vezu, našao sam odgovor: itekako su povezane trojke i niz
.
 
11902373_10204744471637088_3532914214385981544_n.jpg
 
Primer
Odaberimo neki Gausov broj gde su a+bi celi za hipotenuzu c. Recimo, neka je c = 5 + 12i.
  1. Tražimo Gausove brojeve a i b gde vredi:
    • |a|^2 + |b|^2 = |c|^2
  2. Jedan način je biranje prirodnih brojeva m i n gde je m>n => konstrukcija Gausovih brojeva a i b
    • a = m^2 - n^2
    • b = 2mn
  3. Uzimamo Gausove brojeve i proveravamo da li kvadrat dužine hipotenuze c odgovara zbiru kvadrata dužina kateta a i b.
Primer, ako odaberemo m = 3 i n = 2, dobijamo:
  • a = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5
  • b = 2 * 3 * 2 = 12
Proverom, vidi se da je:
  • |a|^2 = |5|^2 = 25
  • |b|^2 = |12|^2 = 144
  • |c|^2 = |5 + 12i|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
Znači da je ova kombinacija Gausovih brojeva validna Pitagorina trojka generisana Gausovim brojevima i da je (5, 12,13)
 
Trojka Poluobim Površina r upisanog kruga
3 4 5 (1+2+3) ----- 6 * (1²) -----1
5 12 13 (1+2+3+4+5) -------- 6*(1²+2²) -----2
7 24 25 (1+2+3+4+5+6+7)------ 6*(1²+2²+3²) ----3
... ... ... ...
-------(1+ 2 +...+ a) ---6*[(1²+...+((a-1)/2))²]---(a-1)/2
 
Poslednja izmena:
Prijavite se ili registrujte da biste poslali poruku.

Back
Top