Limes niza

D

Dreian

Obećava
Poruka
53
Čitajući teoriju, naleteo sam na ovakav primer:

lim[SUB]n→∞[/SUB] (1 + 2 + ... + n) / (n[SUP]2[/SUP])

Rešenje koje je u potpunosti jasno (i meni očigledno) je:

lim[SUB]n→∞[/SUB] (1 + 2 + ... + n) / (n[SUP]2[/SUP]) = lim[SUB]n→∞[/SUB] (n · (n + 1) / 2) / (n[SUP]2[/SUP]) = lim[SUB]n→∞[/SUB] (n + 1) / (2n) = ... = 1 / 2

S druge strane, prikazan je i drugačiji (netačan) postupak:

lim[SUB]n→∞[/SUB] (1 + 2 + ... + n) / (n[SUP]2[/SUP]) = lim[SUB]n→∞[/SUB] (1 / (n[SUP]2[/SUP]) + 2 / (n[SUP]2[/SUP]) + ... + n / (n[SUP]2[/SUP])) = lim[SUB]n→∞[/SUB] (1 / (n[SUP]2[/SUP])) + lim[SUB]n→∞[/SUB] (2 / (n[SUP]2[/SUP])) + ... + lim[SUB]n→∞[/SUB] (n / (n[SUP]2[/SUP])) = 0 + 0 + ... + 0 = 0

Dato obrazloženje je: "... ovde se ne može primeniti teorema o graničnoj vrednosti zbira ... jer broj sabiraka nije fiksiran". Nisam sasvim siguran da mi je jasno o čemu je reč, a voleo bih i neko "matematičkije" objašnjenje. Logično je da neće biti nula, ali mi ovo obrazloženje deluje nepotpuno.

Ideje?

P.S. Ima li planova za uvođenje TeX-a na forum? Jako je naporno pisanje i čitanje ovako linijski... :confused:
 
Jasno je šta hoće da se kaže, ali me interesuje zašto je tako... Ne znam da li se igde u dokazu koristi to da je obavezno konačan broj.

Ili sam priču o beskonačnostima pogrešno razumeo. Iz osnovne, trivijalne teoreme o zbiru:

lim[SUB]n→∞[/SUB] a[SUB]n[/SUB] + lim[SUB]n→∞[/SUB] b[SUB]n[/SUB] = lim[SUB]n→∞[/SUB] (a[SUB]n[/SUB] + b[SUB]n[/SUB])

može da se napravi uopštenje za nekih k sabiraka (matematička indukcija). Naravno da važi ako je broj sabiraka konačan, ali zar ne bi trebalo da važi za bilo koje prirodno k, pa i za, uslovno rečeno, "prebrojivu beskonačnost" (ona priča o alef 0)?
 
Dreian:
Jasno je šta hoće da se kaže, ali me interesuje zašto je tako... Ne znam da li se igde u dokazu koristi to da je obavezno konačan broj.

Ili sam priču o beskonačnostima pogrešno razumeo. Iz osnovne, trivijalne teoreme o zbiru:

lim[SUB]n→∞[/SUB] a[SUB]n[/SUB] + lim[SUB]n→∞[/SUB] b[SUB]n[/SUB] = lim[SUB]n→∞[/SUB] (a[SUB]n[/SUB] + b[SUB]n[/SUB])

može da se napravi uopštenje za nekih k sabiraka (matematička indukcija). Naravno da važi ako je broj sabiraka konačan, ali zar ne bi trebalo da važi za bilo koje prirodno k, pa i za, uslovno rečeno, "prebrojivu beskonačnost" (ona priča o alef 0)?
Kliknite za proširenje...
Evo jednog neformalnog objašnjenja.
Definicija granične vrednosti niza kaže da postoji najviše konačan broj elemenata niza takvih da se od granične vrednosti razlikuju više od proizvoljno zadate vrednosti. Kada imaš konačan broj nizova onda svaki od njih ima po konačan broj elemenata daljih od granične vrednosti i ukupan broj tih elemenata je opet konačan. Međutim, ako imaš beskonačan broj nizova onda iako svaki od njih ima konačan broj takvih elemenata, njihov ukupan broj može biti beskonačan pa zbir graničnih vrednosti nije granična vrednost zbira.
 
lightm:
Evo jednog neformalnog objašnjenja.
Definicija granične vrednosti niza kaže da postoji najviše konačan broj elemenata niza takvih da se od granične vrednosti razlikuju više od proizvoljno zadate vrednosti. Kada imaš konačan broj nizova onda svaki od njih ima po konačan broj elemenata daljih od granične vrednosti i ukupan broj tih elemenata je opet konačan. Međutim, ako imaš beskonačan broj nizova onda iako svaki od njih ima konačan broj takvih elemenata, njihov ukupan broj može biti beskonačan pa zbir graničnih vrednosti nije granična vrednost zbira.
Kliknite za proširenje...

Hvala. :) Naravno, to je intuitivno jasno - beskonačan (prebrojiv) broj ponavljanja reči "skoro svi" ne mora da opet da daje "skoro svi", jer "skoro svi" znači "svi sem konačno mnogo".

Tada nešto ne valja u dokazu za k sabiraka primenom matematičke indukcije, ali šta bi to tačno bilo?

Ovo pitanje sam postavio jer znam da je jako bitno u celoj matematičkoj analizi (naravno, ne sa namerom da je opovrgnem, kao onaj koji je govorio o "grešnoj" matematici) - određeni integral.
 
Od LaTeX-a najverovatnije nama ništa jer administratori smatraju da bi takav modul dosta opterećivao forum. Ipak, uvek može da se obratiš nekom iz administracije sa takvim predlogom.
 
Da malo preformulišem tvoje razmišljanje. Znamo da je zbir dva nula niza takođe nula niz. Ako dodamo treći nula niz opet dobijamo nula niz, i beskonačnim ponavljanjem dodavanja nula nizova uvek iznova dobijamo nula niz. To je ono što si ti uradio pri razdvajanju na višestruke limese, čime si dobio konačnu graničnu vrednost nula. I ti se pitaš zašto ti ta logika nije prošla...

Kao što rekoh, to bi zaista važilo za konačan broj dodavanja nula nizova, ali ne i beskonačno mnogo... Da bih ti ilustrovao najpre ću dokazati da je zbir dva nula niza isto nula niz.

Uzmimo dva niza {x[SUB]n[/SUB]} i {y[SUB]n[/SUB]}, takva da je lim x[SUB]n[/SUB] = lim y[SUB]n [/SUB]= 0, za n koje teži beskonačnosti.

Za svako n počev od n[SUB]1[/SUB] (iz skupa N) važi |x[SUB]n[/SUB]|<E/2
Za svako n počev od n[SUB]2[/SUB] (iz skupa N) važi |y[SUB]n[/SUB]|<E/2

Pošto je |x[SUB]n[/SUB] + y[SUB]n[/SUB]| <|x[SUB]n[/SUB]| + |y[SUB]n[/SUB]|, za svako n počev od n[SUB]3[/SUB]=max{n[SUB]1[/SUB],n[SUB]2[/SUB]} važiće:
|x[SUB]n[/SUB] + y[SUB]n[/SUB]| <E/2+E/2
|x[SUB]n[/SUB] + y[SUB]n[/SUB]| <E

Takvu logiku možeš sprovesti i 3,4,5, i naravno m članova, tako što uzimaš E/3, E/4, E/5,... E/m za epsilon okolinu.

Tako ćeš recimo imati:
|x[SUB]n [/SUB]+...+ a[SUB]n [/SUB]+ b[SUB]n[/SUB]| < E/m +...+ E/m + E/m = m * E/m

(broj nula nizova koje smo ovde sabrali je m)

Kada je m konačan broj, ovo možemo kratiti i dobijamo epsilon.

Ali ako je broj članova u ovom zbiru beskonačan, tj .ako m teži beskonačnosti, imamo neodređenost oblika beskonačno/beskonačno, što nas vodi zaključku da zbir beskonačno mnogo nula nizova nije nula niz.
 
Prijavite se ili registrujte da biste poslali poruku.

Back
Top