Quantcast

Problemi iz matematike, fizike, hemije ...

stanje
Zatvorena za pisanje odgovora.

Salex*

Obećava
Poruka
64
Probaj smenom. Recimo t=x2+2x+4, pa ti jednačina dobija sledeći oblik:
t(t-1)=t+3
t2-2t-3=0
t1=3
t2=-1
-1 otpada jer tada nema realnog x-a
Za t=3 dobijaš jeinstveno rešenje (x=-1)

Dakle, meni ne pada nista drugo na pamet osim jedne stvari, a to je da sve lepo izmnozimo sto i nije tako komplikovano:

x4+2x3+3x2+2x3+4x2+6x+4x2+8x+12=x2+2x+7

x4+4x3+10x2+12x+5=0

Posto resenje nije ocigledno i ne mozemo da izvucemo nikako x da bismo dobili neku prostiju jednacinu upotrebicemo teoremu koja se radi negde u drugom srednje samo je se djaci nerado ili uopste ne secaju U pitanju je Bezuov stav koji kaze sledece:
__________________________________________________ ________________________



Bezuov stav

Ako je dat polinom P(x) (U nasem slucaju mi mozemo reci da je
x4+4x3+10x2+12x+5=0 jedan polinom P(x) (polinom u funkciji od x)) i ako postoji neki broj a za koji vazi da je P(a)=0 onda broj (x-a) sigurno MORA da deli polinom P(x) .

Sto ce reci sledece, recimo :

P(x) : x3+5x2+5x-11=0 je neki polinom, hajde da vidimo kako se primenjuje teorema . Dakle "setamo" redom brojeve od 1 pa na dalje ali naravno i sa negativnim predznakom, odnosno +/- 1 , +/-2, +/-3 ....

Pa da vidimo P(1)=13+5*12+5*1-11=1+5+5-11=0 Aham znaci ovaj polinom (P(x) : x3+5x2+5x-11=0) je sigurno deljiv sa (x-a) odnosno (x-1) . Ja sam namerno dao ovakav primer koji je lakeg tipa da bih objasnio mehanizam ove teoreme koja je vrlo prakticna. Da ne pricam po mnogo, znam iz iskustva da se moji drugovi i drugarice nerado secaju ove morate priznati jako pametne i korisne teoreme i radije pribegavaju mozganjem da pre dobijenog komplikovanog izraza nesto izvuku ispred zagrade da dobiju proizvod a "pametni" matematicari o tome naravno ne brinu i samo sljakaju jer znaju da je to gospodin Bezue

Zasto nam je ovo korisno pitas se verovatno ?! Pa evo zasto ...

Ako kazemo da je broj 6 deljiv brojem 3 sto je tacno naravno, mi mozemo reci sledece :
"Aham, broj sest onda mogu zapisati kao proizvod broja 3 i nekog drugog broja" tj
6=3*x ali je nama ociglednno da je u ovom slucaju x=2 odnosno 6 mopgu zapistai kao 3*2. Kod polinoma isti "mehanizam" mozemo primeniti, ako znam jedan njegov delioc (ili "nula" kako se on zove kod polinoma ali i kod kvadratne jednacine) onda nam je sve reseno .
__________________________________________________ ________________________

Sada kada znamo da koristimo B.S mozemo preci na konretan zadatas, "nas" zadatak .

Dobili smo dakle polinom P(x)=x4+4x3+10x2+12x+5=0
Idemo redom, metodom isprobavanja da trazimo taj broj "a"
P(1)=1+4+10+12+5 sigurno nije 0
P(-1)=1-4+10-12+5=0

Obicno su ti prvi brojevi , i isprobava se do oko 5, ako nisu oni onda smatraj da si mozda pogresio pa proveri dobijeni polinom . Naravno to ne mora da bude nuzno tacno .

Sada kada znamo da je broj a zapravo -1 odnosno a=-1 mozemo reci da (x-a) deli P(x) sto matematicki zapisujemo (x-a) | P(x) odnosno (x-a)*k=P(x) tj polinom mozemo zapisati kao proizvod njegovog delioca i nekog tamo ostatka nazovimo ga k (3|6 => 3*k=6)
Odnosno kako je a=-1 znamo da (x+1)|x4+4x3+10x2+12x+5=0

Zasto nam je ovo bitno, iz prostog razlosga kao i kod kvadratne jednacine, bitno nam je da nam je na jednoj strani nula a desno sto je da zapisemo kao neki proizvod da mozemo da primenimo logiku "Proizvod k broja je nula kada je jedan od ta k broja nula" odnosno

k*y=0 <=> k=0 v y=0

Jer mi time resavamo nasu jednacinu, trazeci njene "nule"

Za sada znamo da (x+1)*k=x4+4x3+10x2+12x+5=0

Pa mozemo sa sigurnoscu reci sledece:

<=> (x+1)=0 v k=0
<=> x=-1 v k=0

Ovo k dobijamo prostom deobom polinoma x4+4x3+10x2+12x+5=0 sa (x+1) i to kada se podeli dobija se x3+3x2+7x+5 sto nikada nije jednako nula sto znam isto primenom B.S Ali to ostavljam tebi da probas.

Dakle jedino resenje ove jednacine je x=-1


P.S Nemoj da te cudi sto k ne moze biti nula, zapravo i kvadratna jednacina nekad ne moze imati R resenja, isto kao i ova kubna jednacina, naravno resenja mozemo treaziti u imaginarnim brojevima sto nije pozeljno niti preporucljivo
P.P.S Kao sto si video B.S je veoma koristan za resavanje jednacine sa velikim stepenima . Isto tako B.S moze se primenjivati i na obicne polinom, polinom drugog reda npr, probaj primenom BS da nadjes resenja kvadratnih jednacina iz zbirke, okreni poglavlje Kvadratna jednacina pa sljakaj i uvezbavaj , koristice ti puno
hvala puno :D
 
Poruka
17.132
Ljudi jel moze neko da pomogne kako da najlakse naucim Analiticku g. posto se jako gubim sa onim silnim formulama a kod zadataka ne znam kako da pocnem???

Sta je problem ?

a) ne znas formule i mrzi te da ih naucis
b) ne znas formule i zelis da ih naucis
c) znas formule ne znas zadatake neke
d) znas formule mesas ih
e) znas formule, znas zadatke ali te profesor mrzi


Zaokruzi i postavi ovde :p
 

sashaaaa

Početnik
Poruka
11
nadam se da vas necu smoriti jako :) tako da postavicu nekoliko
1. dat je krug (x-1)[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] = 4 ,odrediti jednacinu tetive kruga koja sadrzi tacku (2, -1/2) i podeljena je tom tackom na 2 jednaka dela.

2.Ovaj sam uradio ali se ne slaze sa resenjem ... Iz tacke (15, -5) konstruisati secicu kruga x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] =50 tako da duzina odgovarajuce tetive iznosi 10.

3. Zbir vrednosti realnog parametra a za koje sistem
x[SUP]2[/SUP] +y[SUP]2[/SUP] +2y < ili jednako 1 i x+y =a ima jedinstveno resenje je


izvinite sto sam vas smorio ali imam prijemn pa strebam pa mi neke oblasti isparile kao da ih nikada nisam ucio :/
 

UltimaN

Aktivan član
Poruka
1.741
1. tetiva i poluprečnik kruga u datoj tački se seku pod pravim uglom. Znači nađeš koeficijent pravca za pravu koja sadrži poluprečnik i prolazi kroz (2,-1/2) i (1,0). zatim nađeš k2=-1/k1. Kako imaš koeficijent pravca, i tačku kroz koju ta prava prolazi, možeš da odrediš i n zamenom u y=kx+n, i kada to odrediš zadatak je gotov.

2. Ukoliko dužina tetive treba da bude 10, onda je u pitanju četvrtina kruga, a odstojanje tačke u kojoj se seku poluprečnik i tetiva je 5. Zadatak ima dva rešenja. Prvo rešenje je prava y=-5. Druga prava je već komplikovanija za izračunavanje. Prava koja prolazi kroz traženu tačku i kroz koordinatni početak (koji je centar kruga) je simetrija ugla koji zaklapaju dve tražene prave. k1=0, k2=y/x, k2=-3. Sada treba da koristiš formulu koje sada ne mogu tačno da se setim. Kada imaš koeficijent pravca i tačku kroz koju prolazi prava, možeš da nađeš n i onda imaš sve.

3. Imaš pravu y=-x+a koja dodiruje kružnicu x[SUP]2[/SUP]+(y+1)[SUP]2[/SUP]<=2. Prava sa x osom zaklapa ugao od 45 stepeni pa je onda tačka u kojoj prava seče y-osu (0,-1+r*sqrt(2)) sa gornje strane, a (0, -1-r*sqrt(2)) sa donje strane. Kako je r=sqrt(2) dobijaš da a mora da bude u intervalu -1+2=1 i -1-2=-3. -3<=a<=1

Ja se iskreni nadam da nisam nigde pogrešio...
 
Poruka
17.132
1. tetiva i poluprečnik kruga u datoj tački se seku pod pravim uglom. Znači nađeš koeficijent pravca za pravu koja sadrži poluprečnik i prolazi kroz (2,-1/2) i (1,0). zatim nađeš k2=-1/k1. Kako imaš koeficijent pravca, i tačku kroz koju ta prava prolazi, možeš da odrediš i n zamenom u y=kx+n, i kada to odrediš zadatak je gotov.

2. Ukoliko dužina tetive treba da bude 10, onda je u pitanju četvrtina kruga, a odstojanje tačke u kojoj se seku poluprečnik i tetiva je 5. Zadatak ima dva rešenja. Prvo rešenje je prava y=-5. Druga prava je već komplikovanija za izračunavanje. Prava koja prolazi kroz traženu tačku i kroz koordinatni početak (koji je centar kruga) je simetrija ugla koji zaklapaju dve tražene prave. k1=0, k2=y/x, k2=-3. Sada treba da koristiš formulu koje sada ne mogu tačno da se setim. Kada imaš koeficijent pravca i tačku kroz koju prolazi prava, možeš da nađeš n i onda imaš sve.

3. Imaš pravu y=-x+a koja dodiruje kružnicu x[SUP]2[/SUP]+(y+1)[SUP]2[/SUP]<=2. Prava sa x osom zaklapa ugao od 45 stepeni pa je onda tačka u kojoj prava seče y-osu (0,-1+r*sqrt(2)) sa gornje strane, a (0, -1-r*sqrt(2)) sa donje strane. Kako je r=sqrt(2) dobijaš da a mora da bude u intervalu -1+2=1 i -1-2=-3. -3<=a<=1

Ja se iskreni nadam da nisam nigde pogrešio...

nadam se da vas necu smoriti jako :) tako da postavicu nekoliko
1. dat je krug (x-1)[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] = 4 ,odrediti jednacinu tetive kruga koja sadrzi tacku (2, -1/2) i podeljena je tom tackom na 2 jednaka dela.

2.Ovaj sam uradio ali se ne slaze sa resenjem ... Iz tacke (15, -5) konstruisati secicu kruga x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] =50 tako da duzina odgovarajuce tetive iznosi 10.

3. Zbir vrednosti realnog parametra a za koje sistem
x[SUP]2[/SUP] +y[SUP]2[/SUP] +2y < ili jednako 1 i x+y =a ima jedinstveno resenje je


izvinite sto sam vas smorio ali imam prijemn pa strebam pa mi neke oblasti isparile kao da ih nikada nisam ucio :/


Prvi i drugi su rekao bih dobri treci bi vec morao da porazmislim ali vec predpostavljam neku gresku u tvom odgovoru.

Inace za taj treci me jedino buni ova nejednakost :confused: zasto <= 1 :think:

Ali sad ce vidimo kad prenesemo na papir ;)
 
Poruka
17.132
Dobro skapirao sam ali je malo glupavo . :lol: Mesali su kako su stigli , zapravo ovaj zadatak bi "matematickom racunicom" trebao da se radi ovako nekako:

Ova jednacina i ova nejednacina cine sistem jednacine i nejednacine a svaki moguci sistem se moze resiti na vise nacina pri cemu je najjednostavnije resiti metodom zamene, kako imamo jednacinu u nejednacinu logicno je da cemo jednacinu zameniti u nejednacinu odnosno y=a-x zamenimo u nejednacinu x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+2y<=1

Kada zamenimo dobijamo sledece:

2x[SUP]2[/SUP]-2x(a+1)+a[SUP]2[/SUP]+2a-1<=0

Ovo da ima jedinstveno resenje nam govori sledece ako posmatramo racunski , da ova kvadratna jednacina po x ima jedinstveno odredjeno resenje odnosno da je diskriminanta D>=0 ;) , ako posmatramo analiticko logicki onda da prava dodiruje krivu ili je sece ;)

Ja cu naravno kao sto sam poceo matematicko racunskim putem da resim:

resavamo po x jer je a samo realan parametar u odnosu na koju samo diskutujemo resenja ove kvadratne nejednacine .

Zapravo vec rekoh samo za D>=0 imamo jedinstveno odredjena resenja pa nema potrebe resavati celu kvadratnu jednacinu vec je dovljno naci D.
D=b[SUP]2[/SUP]-4ac=-4a[SUP]2[/SUP]-8a+12 kada se sve sredi

I sad D>=0 <=> -4a[SUP]2[/SUP]-8a+12>=0 (:4

-a[SUP]2[/SUP]-2a+3>=0

Resimo po a za znak = u nejednacini i dobijamo:

a1=1 a a2=-3 odnosno b(a-a1)*(a-a2)=(a-1)(a+3)<=0 je drugi oblik kvadratne nejednacine (znak se menja jer je sve mnozeno sa -1 koje stoji spred zagrade (ovo b je koeficijent iz pocetne nejednacine))

Resavanjem ovoga (a-1)(a+3)<=0 dobijamo

1>=a>=-3 kao sto je i Ul. dobio ;)
 
Poslednja izmena:
stanje
Zatvorena za pisanje odgovora.

Top
  Blokirali ste reklame
Dragi prijatelju, nemojte da blokirate reklame - isključite Ad Blocker na Forumu, jer će tako mesto vaših susreta na Krstarici ostati besplatno za korišćenje.