Pomagajte!!!

[Matejina_mama]

Cao svima!
Imam mali problemcic,tj.jedan zadatak za koji kazu da se resava logikom,a ja buljim vec dva dana i nemam pojma
Geometrija mi nikada nije bila jaca strana.
Ako mozete uradite ovo za mene,ali sa objasnjenjem kako ste dosli do rezultata :-)

Hvala Vam unapred!!!

Zadatak:Trougao ima stranice a,b i c.Na stranici a tacka P se moze po volji pomerati.Koordinate te tacke pruzaju se na c(x) i b(y) i prave pravougaonik.
a=15cm
c=12cm
Tacka izmedju stranica b i c moze se posmatrati kao nulta tacka.

Za koju tacku Pm (cm | bm) ce povrsina pravougaonika A biti najveca i koliko iznosi maksimalna povrsina?

 

[informaticaplus]

Prvo Pitagora kaze da je stranica b=9, po tom kosinusna teoreama ce da nam kaze kolika je visina na hipotenuzu, a kada to saznamo lako cemo odrediti Kartezijusove koordinate tacke P i dobiti maksimalnu povrsinu pravougaonika koji mozemo upisati u dati trougao.

Postoji i ispravan nacin da se ovo dokaze, ali me mrzi da listam knjizurine jer se radi o dvoparametarskoj optimizaciji.

 

[Matejina_mama]

Auuuu

 

[intra]

Pa evo može ovako:
b=9cm iz Pitagorine teoreme ( b=drugi korijen iz 15 na kvadrat minus 12 na kvadrat)
iz malog truugla je tangens ugla između stranica a i c je y/(12-x)
Pa je y=(12-x)tgQ
Sada je površina:
P=xy=(12x-xna2)tgQ ova funkcija ima maksimum kada kvadratna funcija u zagradi ima maksimum tj za x=6

 

[069]

Moze i malo drugacije.
Posto su duzine kateta 9 i 12 to se u koordinatnom sistemu nadju tacke 9 na x osi i 12 na y osi(moze i obrnuto).Nadje se jednacina prave kroz te dve tacke.
To je y=-4/3x+12.
Povrsina pravougaonika je P=xy ili P=x(-4/3x+12) tj. P=-4/3x^2+12x.
Prvi izvod funkcije daje P'=-8/3x+12 a drugi P"=-8/3. Posto iz P'=0 sledi -8/3x+12=0 tj.x=4,5 a iz drugog izvoda da je to maximum funkcije P to je resenje x=4,5 i y = 6.

 

[Matejina_mama]

Hvala Vam puno na odgovorima!
:rolleyes: