Matematička verovatnoća - da li je ovo moguće?

[Mrkalj]

http://www.24sata.rs/vesti.php?id=82274

Isti loto brojevi dva puta u mesec dana

18.10.2010. - 01:04
SLUČAJNOST - Na izraelskom lotu u razmaku manjem od mesec dana izvučena je ista dobitna kombinacija, što je statistički skoro neverovatno. Brojevi 13, 14, 26, 32, 33 i 36, kao i rezervni broj 1, izvučeni su iz bubnja 21. septembra i 16. oktobra. Direkcija lota prvo je pomislila da je reč o tehničkoj grešci, ali posle provere utvrđeno je da je to ipak bila neverovatna slučajnost.


'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Israel lottery draws same numbers as three weeks before

Israel's weekly state lottery draw at the weekend drew exactly the same six numbers as the draw 3 weeks earlier – an event statisticians said was a one in four trillion chance.

Israel state lottery picked identical numbers three weeks apart Photo: EPA






By Mark Weiss in Jerusalem 12:59PM BST 18 Oct 2010

Three lucky punters, who also correctly guessed the 7th "strong number" each won £666,000, with more than 100 people sharing smaller prizes.

The numbers that rolled out during a live television broadcast were 36, 33, 32, 26, 14, 13, and the additional 'strong' number 2. It didn't take long for some viewers to notice that these numbers were exactly the same as those drawn in the September 21st draw.

Israeli radio station phone-ins were flooded with callers who suspected the draw was rigged.

The allegations were denied by officials from Mifal HaPayis, the national lottery company. "We are in the business of luck, and when it comes to chances and probabilities anything is possible, even the rare and infrequent, like in this case," said Dr Chaim Melamed, the statistics expert for Mifal HaPayis.

Following the remarkable coincidence the machines and coloured balls used in the draw were examined and no irregularities were found. The balls used for the draw are changed on a regular basis and, according to the lottery company, the last change of balls took place between the September 21st draw and the weekend sensation.



'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''


Smatram da je dokazivo da određene kuglice imaju veću šansu da budu izvučene, odnosno da je u pitanju nameštaljka.

 

[MathPhysics]

Ovde uopšte ništa nije čudno u statističkom smislu. Verovatnoća u svakom izvlačenju za svaku kombinaciju je ista i podjednake su šanse u svakom novom izvlačenju da neka kombinacija bude izvučena. Kada bacaš kockicu verovatnoća da dobiješ broj tri je 1/6. Ako ponovo baciš kockicu kolika je verovatnoća da ćeš dobiti broj tri? Opet 1/6. Isto tako i sledeći put, prema tome radi se o običnoj slučajnosti koja ima svoje statističko opravdanje.

 

[Гост форума]

Једно време радио сам у једној фабрици на конструисању електронских апарата за игру на срећу(рулети, покер столови, ...). Месецима се тестирају апарати и прате резултати у зависности од различитих улазних параметара. Све се штелује тако да "кућа" не сме никад да изгуби. Ако се ипак деси да "кућа" изгуби фабрика која је произвела апарат надокнађује штету и подешава апарат да се то више не деси. Случајност је забрањена. Наравно овде је реч о већим добицима, мањи планирани добици су дозвољени у сврху да се људи намаме на игру.
Ма колико мислили да лото не може да се "намести" будите сигурни да може јер да не може не би ни било те игре.

 

[Caliburn]

Smatram da je dokazivo da određene kuglice imaju veću šansu da budu izvučene, odnosno da je u pitanju nameštaljka.

Da prvo odgovorim na pitanje iz naslova: da, moguće je.

Što se nameštanja igara na sreću, to ne samo da je moguće, nego se i čini.

U ovom konkretnom slučaju, a u vezi tvoje teze, da bi se ista dokazala ili opovrgla, bilo bi potrebno analizirati veoma veliki broj izvlačenja kuglica i ukoliko se utvrdi da se neki brojevi češće pojavljuju, onda je više nego verovatno su te kuglice na neki način obeležene.

Na osnovu uzorka oid svega dva izvlačenja ne može se ništa tvrditi.

 

[MathPhysics]

Mene ovde zanima samo matematički deo.

Inače, intuitivno bi se ovo u primeru sa kockicom verovatno svelo na 1/6 * 1/6 = 1 / 36. I kod lotoa slično na množenje pojedinačnih verovatnoća. Ali u svakom bacanju podjednako su verovatne sve kombinacije. Ideja da se igra uvek ista kombinacija je prema tome pogrešan pristup. Ako od 10 brojeva izvlačiš tri, ista je verovatnoća da ćeš dobiti 1,2,3 kao 7, 9, 10. I ako prvi put izvučeš 1,2,3 sledeći put su sve kombinacije podjednako verovatne, pa i ta. Ako 5 puta bude ista kombinacija, verovatnoća da će se to ponoviti i šesti put jednaka je verovatnoći iz prve kombinacije, i iznosi 1: broj kombinacija 10 elemenata treće klase.

Tražio sam sad neku referencu za svoje tvrđenje, recimo ovde:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lottery_mathematics
Međutim, nisam je našao.

Odoh da malo obnovim statistiku, pa ću da upotpunim svoj odgovor.

 

[Moonster]

Једно време радио сам у једној фабрици на конструисању електронских апарата за игру на срећу(рулети, покер столови, ...). Месецима се тестирају апарати и прате резултати у зависности од различитих улазних параметара. Све се штелује тако да "кућа" не сме никад да изгуби. Ако се ипак деси да "кућа" изгуби фабрика која је произвела апарат надокнађује штету и подешава апарат да се то више не деси. Случајност је забрањена. Наравно овде је реч о већим добицима, мањи планирани добици су дозвољени у сврху да се људи намаме на игру.
Ма колико мислили да лото не може да се "намести" будите сигурни да може јер да не може не би ни било те игре.

Ili jednostavnije rečeno: "Kuća uvek dobija" staro provereno pravilo.

A što se tiče izvlačenja u Izraelu, po mom mišljenju nije nemoguće, samo je jako, jako malo verovatno da se dva puta u tako kratkom vremenskom razmaku izvuku baš potpuno isti brojevi.
Drugim rečima najvereovatnije je u pitanju nameštaljka, Italijani su majstori kada su te stvari u pitanju.

 

[MathPhysics]

Ostavimo teorije zavere po strani, ovo je forum prirodnih nauka, ovde je reč o matematici, a ne o nagradnim igrama. Ja ne igram igre na sreću, ali imam poverenja u one koji ih organizuju i mislim da to rade na sasvim pošten način. Napisaću uskoro ovde nešto o teoriji verovatnoće izvlačenja kuglica, držeći se isključivo matematike problema, videćete da je izvlačenje dve uzastopne kombinacije kakvo je opisano ovde zaista moguće i uopšte nije neki statistički neočekivan fenomen.

 

[MathPhysics]

Počeću jednim lepim citatom:

It is easy to lie with statistics. It is hard to tell the truth without it. (Andrejs Dunkels)

U prevodu:

Lako je lagati pomoću statistike. Teško je reći istinu bez nje.

Zato ću napisati malo o statistici i teoriji verovatnoće kod ovog problema.

Krenimo od statističke definicije pojma verovatnoće. Da bismo je formulisali, moramo definisati relativnu frekvenciju nekog događaja. Recimo da smo neki eksperiment vršili x puta i pri tom se neki događaj A desio y puta. Tada je relativna frekvencija događaja A jednaka odnosu y i x. To možemo pisati ovako: w=y/x. Verovatnoća P događaja A definiše se kao granična vrednost odnosno limes P(A)=lim x->beskonačno (w(A)), odnosno limes od w gde x teži beskonačno.

Recimo da smo bacili kocku tri puta i jednom dobili broj 1 (označimo to kao događaj A). Relativna frekvencija događaja A je tada 1/3. Ako bacimo kocku 1000 puta, relativna frekvencija će postati blizu 1/6. Kada je broj bacanja blizak beskonačnosti onda ćemo 1/6 dobiti kao vrednost pomenutog limesa. I to je upravo ta verovatnoća. Prema tome, da bismo imali sigurna saznanja o verovatnoći definisane na ovaj način treba nam veliki broj merenja.

Kod ovakve definicije verovatnoće mali je nedostatak je jer se granična vrednost vezuje za beskonačnost, pa je i intuitivno teže steći predstavu o njoj.

Zato ćemo uvesti malo drugačiju definiciju verovatnoće, koja je poznata kao klasična ili Laplasova definicija verovatnoće. Ovde se najpre uvodi definicija povoljnog događaja, gde se povoljnim događajem za neki događaj naziva onaj događaj pri kojem se taj događaj ostvaruje. Ako je ukupan broj događaja x, a povoljnih y, onda je verovatnoća tog događaja y/x.

Ovakva definicija se, inače, može izvesti vrlo lako. Imajući u vidu su e[SUB]1[/SUB], e[SUB]2[/SUB], e[SUB]3[/SUB], ..., e[SUB]n[/SUB] elementarni događaji možemo pisati:
P(e[SUB]1[/SUB]) + P(e[SUB]2[/SUB]) + P(e[SUB]3[/SUB]) + ... + P(e[SUB]n[/SUB]) = 1
Ako su svi događaji podjednako verovatni:
P(e[SUB]1[/SUB]) = P(e[SUB]2[/SUB]) = P(e[SUB]3[/SUB]) = ... = P(e[SUB]n[/SUB])
Otuda je:
nP(i)=1
Ovde je n=x.
Na kraju: P(i)=1/x.

Imajući u vidu da je:
P(A[SUB]1[/SUB] + .. A[SUB]n[/SUB])=P(A[SUB]1[/SUB])+... + P(A[SUB]n[/SUB])
Ukupnu verovatnoću P(A) dojamo onda kao sumu:
P(A)=1/x + 1/x + ... + 1/x, gde se 1/x pojavljuje y puta, pa dobijamo P(A)=y/x.

Koristeći ovu definiciju možemo lako odrediti verovarnoću da se događaj A zaista desi. Recimo primer sa bacanjem kocke. Pošto ona ima šest strana, i sve su ravnopravne podjednako je verovatno koja će da se pojavi za svaku od njih. Ako je događaj A pojavljivanje nekog broja iz skupa M={1,2,3,4,5,6}, onda je to siguran događaj, verovatnoća takvog je svakako 1. Ako nam treba verovatnoća da se pojavi broj delijv sa 3, onda imamo dve mogućnosti 3 i 6 da se događaj A ostvari od 6 ukupnih mogućih događaja, pa dobijamo P(A)= x/y=2/6=1/3. Ako nam treba verovatnoća da se pojavi broj 5, onda je to 1/6. Naravno ovde je reč o samo jednom bacanju.

A šta ako je više bacanja? Kolika je verovatnoća da ćemo dobiti broj 5 dva puta uzastopno? Pre svega primetimo da je u pitanju jedan događaj. A koliko ima mogućih događaja? Radi se o varijacijama sa ponavljanjem od 6 elemenata druge klase, tj. moguće je 6[SUP]2[/SUP] događaja, pa je verovatnoća pomenutog 1/36. A kolika je verovatnoća događaja da ćemo prvo dobiti dvojku pa onda 6? Isto 1/36. Broj mogućih događaja je 36, događaj kakav sam pomenuo 1, pa iz Laplasove definicije ponovo sledi da je verovatnoća 1/36. Upravo tako, potpuno je ista verovatnoća da nam se neki broj pri dva uzastopna bacanja kocke određen broj ponovi kao i da dobijemo određena dva različita!

Evo jedan još prostiji primer. U kutiji imate tri kuglce različitih boja, plavu, zelena i crvenu. Izvlačite dve kuglice (nije bitno koju kuglicu ćemo prvu izvući). Moguća izvlačenja su:
-plava, plava
-plava, zelena
-plava, crvena
-crvena, crvena
-crvena, zelena
-zelena, zelena
Interesuje nas verovatnoća da jedna kombinacija bude izvučena.To je jasno 1/6.

Verovatnoća dobijena klasičnim putem bi ovde bila odnos 1/6 (1/kombinacije 6 elemenata prve klase). Zaista, kombinacija plava,plava isto verovatne kao i plava, crvena! Uopšteno isto su verovatne kombinacije iste boje kao i kombinacije različite.

A sada razmotrimo loto. Ako se radi o verovatnoći dobitne kombinacije ona je samo jedna, a mogućih, jako mnogo, tačnije se radi o kombinacijama n elemenata k-te klase, odnos 1/ n nad k. Pri tom je n ukupan broj brojeva koji su potencijalno mogući za izvlačenje, a k broj izvučenih. Brojevi n i k zavise od tačnog sistema po kojem se igra, ali ovde ću se držati isključivo opšteg slučaja.

Ako od n brojeva u prvom izvlačenju budu izvučena k brojeva i recimo da je to kombinacija a,b,c,d,e,f,g, gde su a,b,c,d,e,f,g elementi iz skupa kojim je određen n. Verovatnoća je pri tom 1/ n nad k. U sledećem izvlačenju situacija je potpuno ista izvlače se ponovo brojevi, i ponovo je verovatnoća 1/ n nad k. Nema veze šta je izvučeno prvi put, sva izvlačenja su nezavisna.

Zaista, verovatnoća da se dva puta izvuče kombinacija a,b,c,d,e,f,g je jako mala, ali se ne razlikuje od verovatnoće da budu izvučeni brojevi j,k,l,m,n,o,p i a,b,c,d,e,f,g, kao u primeru sa kockom ili sa kuglicama različitih boja koje sam prethodno pominjao.

Dakle dva izvlačenja su dva izvlačenja i uopšte ne zavise jedan od drugog. Dobitne kombinacije mogu biti iste, različite, sve je to slučajnost. Dakle nije veliko iznenađenje da ista kombinacija dva puta bude dobitna u kratkom vremenskom roku, pa čak i u uzastopnim kolima.

I na kraju da to približimo intuiciji, vratimo se na statističku definiciju verovatnoće. Kada bi beskonačno puta ponavljali izvlačenje, onda bi sve kombinacije bile podjednako zastupljene. Međutim kao što se pri bacanju kocke može desiti da se brojevi ponove u uzastopnim bacanjima, tako je i ovde moguće ovakvo ponavljanje.

________________________
Naravno, ne odgovaram za tačnost ovoga što sam ovde napisao, ali sam lično prilično siguran da je to tako. Voleo bih da prokomentarišete ovaj moj tekst ukoliko mislite da sam pogrešio u nekom njegovom delu, pa ću taj deo detaljnije matematički da razradim.

 

[Moonster]

Ostavimo teorije zavere po strani, ovo je forum prirodnih nauka, ovde je reč o matematici, a ne o nagradnim igrama. Ja ne igram igre na sreću, ali imam poverenja u one koji ih organizuju i mislim da to rade na sasvim pošten način. Napisaću uskoro ovde nešto o teoriji verovatnoće izvlačenja kuglica, držeći se isključivo matematike problema, videćete da je izvlačenje dve uzastopne kombinacije kakvo je opisano ovde zaista moguće i uopšte nije neki statistički neočekivan fenomen.

Slažem se ja sa tobom potpuno, ali dozvoli barem malo "širine" posebno kada je igra na sreću u pitanju i ne zameri zbog teorija zavere

 

[MathPhysics]

Slažem se ja sa tobom potpuno, ali dozvoli barem malo "širine" posebno kada je igra na sreću u pitanju i ne zameri zbog teorija zavere

Ništa, samo sam hteo da diskusiju preusmerim na matematiku. Meni se prilično dopao ovaj problem iako je elementaran (takvi su najteži).

I nadao sam se da će se malo više ljudi koji se bave matematikom odazvati da reše ovo. Ja sam zapravo prilično siguran u rešenje koje sam izložio, ali se verovatnoćom nisam mnogo bavio, pa bih voleo malo da ga upotpunim ili ispravim ako sam napravio neku grešku.

Inače, namerno sam u prošloj poruci uz samo rešenje napravio kratak pregled osnova teorije verovatnoće kako bih i manje upućene u matematiku zainteresovao za rešavanje zadatka.

 

[Paganko]

http://www.24sata.rs/vesti.php?id=82274

Isti loto brojevi dva puta u mesec dana

18.10.2010. - 01:04
SLUČAJNOST - Na izraelskom lotu u razmaku manjem od mesec dana izvučena je ista dobitna kombinacija, što je statistički skoro neverovatno. Brojevi 13, 14, 26, 32, 33 i 36, kao i rezervni broj 1, izvučeni su iz bubnja 21. septembra i 16. oktobra. Direkcija lota prvo je pomislila da je reč o tehničkoj grešci, ali posle provere utvrđeno je da je to ipak bila neverovatna slučajnost.


'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Israel lottery draws same numbers as three weeks before

Israel's weekly state lottery draw at the weekend drew exactly the same six numbers as the draw 3 weeks earlier – an event statisticians said was a one in four trillion chance.

Israel state lottery picked identical numbers three weeks apart Photo: EPA






By Mark Weiss in Jerusalem 12:59PM BST 18 Oct 2010

Three lucky punters, who also correctly guessed the 7th "strong number" each won £666,000, with more than 100 people sharing smaller prizes.

The numbers that rolled out during a live television broadcast were 36, 33, 32, 26, 14, 13, and the additional 'strong' number 2. It didn't take long for some viewers to notice that these numbers were exactly the same as those drawn in the September 21st draw.

Israeli radio station phone-ins were flooded with callers who suspected the draw was rigged.

The allegations were denied by officials from Mifal HaPayis, the national lottery company. "We are in the business of luck, and when it comes to chances and probabilities anything is possible, even the rare and infrequent, like in this case," said Dr Chaim Melamed, the statistics expert for Mifal HaPayis.

Following the remarkable coincidence the machines and coloured balls used in the draw were examined and no irregularities were found. The balls used for the draw are changed on a regular basis and, according to the lottery company, the last change of balls took place between the September 21st draw and the weekend sensation.



'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''


Smatram da je dokazivo da određene kuglice imaju veću šansu da budu izvučene, odnosno da je u pitanju nameštaljka.

Sasvim je moguće. Šansa je svakako bezobrazno mala, ali nema razloga da se ne desi. U suštini šansa d na lotou dobiješ kombinaciju 1,2,3,4,5,6,7 je ista kao i šansa da se izvuče bilo koja druga kombinacija. Ka bi razmišljali o matematičkoj mogućnosti da dobijemo na lotou, apsolutno ga niko ne bi igrao.

 

[Mrkalj]

Naravno, moguće je i tu je verovatnoću lako izračunati. Međutim, neke stvari u prirodi se nikada (!) ne dešavaju jer je verovatnoća da se dese jako mala (nije jednaka nuli!). Tako se npr. nikada neće desiti da zrno soli poskoči sa stola samo od sebe iako bi se, prema zakonu verovatnoće, u jednom momentu nasumične sile kretanja svih atoma njegovog kristala mogle usmeriti u istom pravcu.

Ovde uopšte ništa nije čudno u statističkom smislu. Verovatnoća u svakom izvlačenju za svaku kombinaciju je ista i podjednake su šanse u svakom novom izvlačenju da neka kombinacija bude izvučena. Kada bacaš kockicu verovatnoća da dobiješ broj tri je 1/6. Ako ponovo baciš kockicu kolika je verovatnoća da ćeš dobiti broj tri? Opet 1/6. Isto tako i sledeći put, prema tome radi se o običnoj slučajnosti koja ima svoje statističko opravdanje.

Mislim da je MathPhysics to načeo u svojem dugačkom postu koji ću tek pročitati, ali ti sebi postavljaš pogrešno (logičko) pitanje.

Pitanje ne glasi ovako "Ako smo u bacanju kockice dobili broj tri, kolika je verovatnoća da se to ponovo desi?" već glasi "Kolika je verovatnoća da se dvaput zaredom izvuku trojke?" čiji je odgovor (rezultat) identičan odgovoru na pitanje npr. "Kolika je verovatnoća da u prvom bacanju izvučemo četvorku, a u drugom jedinicu?" Dakle, pitamo za rezultat oba bacanja, a ne za rezultat drugog bacanja. Capisci? U pitanju je, naravno 1/36.

Ko ne veruje neka uzme kockicu i napravi eksperiment.

 

[Paganko]

Naravno, moguće je i tu je věrovatnoću lako izračunati. Međutim, něke stvari u prirodi se nikada (!) ne dešavaju jer je věrovatnoća da se dese jako mala (nije jednaka nuli!). Tako se npr. nikada neće desiti da zrno soli poskoči sa stola samo od sebe iako bi prema zakonu věrovatnoće u jednom momentu nasumične sile kretanja svih atoma njegovog kristala mogle usměriti u istom pravcu.



Mislim da je MathPhysics to načeo u svojem dugačkom postu koji ću tek pročitati, ali ti sebi postavljaš pogrěšno (logičko) pitanje.

Pitanje ne glasi ovako "Ako smo u bacanju kockice dobili broj tri, kolika je věrovatnoća da se to ponovo desi?" već glasi "Kolika je věrovatnoća da se dvaput zaredom izvuku trojke?" čiji je odgovor (rezultat) identičan odgovoru na pitanje npr. "Kolika je věrovatnoća da u prvom bacanju izvučemo četvorku, a u drugom jedinicu?" Dakle, pitamo za rezultat oba bacanja, a ne za rezultat drugog bacanja. Capisci? U pitanju je, naravno 1/36.

Odgovoriću ti ja ako nije problem:

pitanje verovatnoće da se tako nešto dogodi je čista kombinatorika. Za naš loto treba sračunati broj kombinacija 7 od 39 bez ponavljanja.

Broj loto kombinacija 7 od 39 je jednostavno binomni koeficijent (39 7) = 39!(7!(39-7)!)=15.380.937

Šanse da se jedna kombinacija ponovi dva puta su:

1 : 15.380.937[SUP]2[/SUP]

jer obe kombinacije možemo izvući na 15.380.937 načina.

to jest

1 : 236.573.222.997.969.

Treba imati u vidu da u različitim zemljama imaš različit broj loto kombinacija koji je obično u korelaciji sa brojem potencijalnih igrača. Kako je izrael duplo manji po broju stanovnika, možeš očeivati da njihov loto ima manji broj kombinacija, pa samim tim i veće šanse da se tako nešto dogodi.

Očito je problem, što nama deluje da su šane da se dva puta ponovi ista kombinacija manje nego da se dobiju dve različite određene kombinacije. Ovo nije tačno, jer sve loto kombinacije imaju ravnopravnu verovatnoću da se dogode, bez obzira na to da li su već bile izvlačene.

Još jedna napomena se tiče konkretnog slučaja, a to je da kako vreme odmiče, šanse da se ponovi neka od prethodnih kombinacija rastu.

 

[Mrkalj]

Једно време радио сам у једној фабрици на конструисању електронских апарата за игру на срећу(рулети, покер столови, ...). Месецима се тестирају апарати и прате резултати у зависности од различитих улазних параметара. Све се штелује тако да "кућа" не сме никад да изгуби. Ако се ипак деси да "кућа" изгуби фабрика која је произвела апарат надокнађује штету и подешава апарат да се то више не деси. Случајност је забрањена. Наравно овде је реч о већим добицима, мањи планирани добици су дозвољени у сврху да се људи намаме на игру.
Ма колико мислили да лото не може да се "намести" будите сигурни да може јер да не може не би ни било те игре.

Moja je teza da postoji nekoliko (desetina) setova kuglica u kojima se zna koji brojevi ne mogu (ili mogu jako teško) bili izvučeni. Nakon uplate, kompjuter već zna koje brojeve da forsira da bi već pri izvlačenju šestice broj mogućih sedmica bio od nula do tri. Onda dođe čika koji uzme kombinaciju sa ili težim ili malko većim kuglicama koje ne smeju da se izvuku. Istovremeno, neko njihov igra par stotina kombinacija bez diskvalifikovanih brojeva, tako da nakon 10-20 kola mora da mu se isplati uloženo. Eto, tako bih ja štelovao.

Glupo bi bilo pomisliti da se u ovoj siromašačkoj zemlji neka nagradna igra dešava po propisima.

 

[Mrkalj]

Počeću jednim lepim citatom:



U prevodu:

Lako je lagati pomoću statistike. Teško je reći istinu bez nje.

Zato ću napisati malo o statistici i teoriji verovatnoće kod ovog problema.

Krenimo od statističke definicije pojma verovatnoće. Da bismo je formulisali, moramo definisati relativnu frekvenciju nekog događaja. Recimo da smo neki eksperiment vršili x puta i pri tom se neki događaj A desio y puta. Tada je relativna frekvencija događaja A jednaka odnosu y i x. To možemo pisati ovako: w=y/x. Verovatnoća P događaja A definiše se kao granična vrednost odnosno limes P(A)=lim x->beskonačno (w(A)), odnosno limes od w gde x teži beskonačno.

Recimo da smo bacili kocku tri puta i jednom dobili broj 1 (označimo to kao događaj A). Relativna frekvencija događaja A je tada 1/3. Ako bacimo kocku 1000 puta, relativna frekvencija će postati blizu 1/6. Kada je broj bacanja blizak beskonačnosti onda ćemo 1/6 dobiti kao vrednost pomenutog limesa. I to je upravo ta verovatnoća. Prema tome, da bismo imali sigurna saznanja o verovatnoći definisane na ovaj način treba nam veliki broj merenja.

Kod ovakve definicije verovatnoće mali je nedostatak je jer se granična vrednost vezuje za beskonačnost, pa je i intuitivno teže steći predstavu o njoj.

Zato ćemo uvesti malo drugačiju definiciju verovatnoće, koja je poznata kao klasična ili Laplasova definicija verovatnoće. Ovde se najpre uvodi definicija povoljnog događaja, gde se povoljnim događajem za neki događaj naziva onaj događaj pri kojem se taj događaj ostvaruje. Ako je ukupan broj događaja x, a povoljnih y, onda je verovatnoća tog događaja y/x.

Ovakva definicija se, inače, može izvesti vrlo lako. Imajući u vidu su e[SUB]1[/SUB], e[SUB]2[/SUB], e[SUB]3[/SUB], ..., e[SUB]n[/SUB] elementarni događaji možemo pisati:
P(e[SUB]1[/SUB]) + P(e[SUB]2[/SUB]) + P(e[SUB]3[/SUB]) + ... + P(e[SUB]n[/SUB]) = 1
Ako su svi događaji podjednako verovatni:
P(e[SUB]1[/SUB]) = P(e[SUB]2[/SUB]) = P(e[SUB]3[/SUB]) = ... = P(e[SUB]n[/SUB])
Otuda je:
nP(i)=1
Ovde je n=x.
Na kraju: P(i)=1/x.

Imajući u vidu da je:
P(A[SUB]1[/SUB] + .. A[SUB]n[/SUB])=P(A[SUB]1[/SUB])+... + P(A[SUB]n[/SUB])
Ukupnu verovatnoću P(A) dojamo onda kao sumu:
P(A)=1/x + 1/x + ... + 1/x, gde se 1/x pojavljuje y puta, pa dobijamo P(A)=y/x.

Koristeći ovu definiciju možemo lako odrediti verovarnoću da se događaj A zaista desi. Recimo primer sa bacanjem kocke. Pošto ona ima šest strana, i sve su ravnopravne podjednako je verovatno koja će da se pojavi za svaku od njih. Ako je događaj A pojavljivanje nekog broja iz skupa M={1,2,3,4,5,6}, onda je to siguran događaj, verovatnoća takvog je svakako 1. Ako nam treba verovatnoća da se pojavi broj delijv sa 3, onda imamo dve mogućnosti 3 i 6 da se događaj A ostvari od 6 ukupnih mogućih događaja, pa dobijamo P(A)= x/y=2/6=1/3. Ako nam treba verovatnoća da se pojavi broj 5, onda je to 1/6. Naravno ovde je reč o samo jednom bacanju.

A šta ako je više bacanja? Kolika je verovatnoća da ćemo dobiti broj 5 dva puta uzastopno? Pre svega primetimo da je u pitanju jedan događaj. A koliko ima mogućih događaja? Radi se o varijacijama sa ponavljanjem od 6 elemenata druge klase, tj. moguće je 6[SUP]2[/SUP] događaja, pa je verovatnoća pomenutog 1/36. A kolika je verovatnoća događaja da ćemo prvo dobiti dvojku pa onda 6? Isto 1/36. Broj mogućih događaja je 36, događaj kakav sam pomenuo 1, pa iz Laplasove definicije ponovo sledi da je verovatnoća 1/36. Upravo tako, potpuno je ista verovatnoća da nam se neki broj pri dva uzastopna bacanja kocke određen broj ponovi kao i da dobijemo određena dva različita!

Evo jedan još prostiji primer. U kutiji imate tri kuglce različitih boja, plavu, zelena i crvenu. Izvlačite dve kuglice (nije bitno koju kuglicu ćemo prvu izvući). Moguća izvlačenja su:
-plava, plava
-plava, zelena
-plava, crvena
-crvena, crvena
-crvena, zelena
-zelena, zelena
Interesuje nas verovatnoća da jedna kombinacija bude izvučena.To je jasno 1/6.

Verovatnoća dobijena klasičnim putem bi ovde bila odnos 1/6 (1/kombinacije 6 elemenata prve klase). Zaista, kombinacija plava,plava isto verovatne kao i plava, crvena! Uopšteno isto su verovatne kombinacije iste boje kao i kombinacije različite.

A sada razmotrimo loto. Ako se radi o verovatnoći dobitne kombinacije ona je samo jedna, a mogućih, jako mnogo, tačnije se radi o kombinacijama n elemenata k-te klase, odnos 1/ n nad k. Pri tom je n ukupan broj brojeva koji su potencijalno mogući za izvlačenje, a k broj izvučenih. Brojevi n i k zavise od tačnog sistema po kojem se igra, ali ovde ću se držati isključivo opšteg slučaja.

Ako od n brojeva u prvom izvlačenju budu izvučena k brojeva i recimo da je to kombinacija a,b,c,d,e,f,g, gde su a,b,c,d,e,f,g elementi iz skupa kojim je određen n. Verovatnoća je pri tom 1/ n nad k. U sledećem izvlačenju situacija je potpuno ista izvlače se ponovo brojevi, i ponovo je verovatnoća 1/ n nad k. Nema veze šta je izvučeno prvi put, sva izvlačenja su nezavisna.

Zaista, verovatnoća da se dva puta izvuče kombinacija a,b,c,d,e,f,g je jako mala, ali se ne razlikuje od verovatnoće da budu izvučeni brojevi j,k,l,m,n,o,p i a,b,c,d,e,f,g, kao u primeru sa kockom ili sa kuglicama različitih boja koje sam prethodno pominjao.

Dakle dva izvlačenja su dva izvlačenja i uopšte ne zavise jedan od drugog. Dobitne kombinacije mogu biti iste, različite, sve je to slučajnost. Dakle nije veliko iznenađenje da ista kombinacija dva puta bude dobitna u kratkom vremenskom roku, pa čak i u uzastopnim kolima.

I na kraju da to približimo intuiciji, vratimo se na statističku definiciju verovatnoće. Kada bi beskonačno puta ponavljali izvlačenje, onda bi sve kombinacije bile podjednako zastupljene. Međutim kao što se pri bacanju kocke može desiti da se brojevi ponove u uzastopnim bacanjima, tako je i ovde moguće ovakvo ponavljanje.

________________________
Naravno, ne odgovaram za tačnost ovoga što sam ovde napisao, ali sam lično prilično siguran da je to tako. Voleo bih da prokomentarišete ovaj moj tekst ukoliko mislite da sam pogrešio u nekom njegovom delu, pa ću taj deo detaljnije matematički da razradim.

To je to. Na žalost, izgleda da je kod mnogih krivo shvaćena i krivo zapamćena pošalica koju su srednjoškolski profani prepričavali đacima...

 

[Mrkalj]

Odgovoriću ti ja ako nije problem:

pitanje verovatnoće da se tako nešto dogodi je čista kombinatorika. Za naš loto treba sračunati broj kombinacija 7 od 39 bez ponavljanja.

Broj loto kombinacija 7 od 39 je jednostavno binomni koeficijent (39 7) = 39!(7!(39-7)!)=15.380.937

Šanse da se jedna kombinacija ponovi dva puta su:

1 : 15.380.937[SUP]2[/SUP]

jer obe kombinacije možemo izvući na 15.380.937 načina.

to jest

1 : 236.573.222.997.969.

Treba imati u vidu da u različitim zemljama imaš različit broj loto kombinacija koji je obično u korelaciji sa brojem potencijalnih igrača. Kako je izrael duplo manji po broju stanovnika, možeš očeivati da njihov loto ima manji broj kombinacija, pa samim tim i veće šanse da se tako nešto dogodi.

Očito je problem, što nama deluje da su šane da se dva puta ponovi ista kombinacija manje nego da se dobiju dve različite određene kombinacije. Ovo nije tačno, jer sve loto kombinacije imaju ravnopravnu verovatnoću da se dogode, bez obzira na to da li su već bile izvlačene.

Još jedna napomena se tiče konkretnog slučaja, a to je da kako vreme odmiče, šanse da se ponovi neka od prethodnih kombinacija rastu.

Eto te tipične greške - ovo podvučeno; dok je ovo što si sam podebljao tačno. Jeste na kvadrat. Ili uzmi kockicu pa probaj ili odgovori na pitanje:

U jednoj zemlji koja se zove Nedođija desilo se nešto što nam "samo deluje čudno" - sedam hiljada puta za redom je na Lotu 7/39 izvučena ista kombinacija brojeva!!! Države vesti su narodu objasnile da kombinacije brojeva svaki put dobijaju istu šansu da budu izvučene i da ih ništa ne čudi ako ista kombinacija bude izvučena 7001. put!"

I vesti su bile u pravu, ali dale su odgovor na pitanje koje nas nije interesovalo...



Osećaj nas ne vara, već pogrešno primenjena teorija. (Razjašnjeno u mojim gornjim postovima).

 

[Paganko]

Koje greške??? Verovatnoća i ja se nismo družili godinama....

 

[Mrkalj]

36, 33, 32, 26, 14, 13, Trillion-to-one chance
Quote

Once in 10,000 years event: Combination of six numbers repeats itself twice, less than a month apart; 95 gamblers bet on unlikely event and win


Saturday night's state lottery numbers were an almost identical repeat of the lottery numbers from September 21. Ninety-five people picked the lucky combination and won.

getting all seven lottery numbers exactly correct, under normal circumstances, is one in 18 million. Guessing six numbers correctly, excluding the 'strong' number, is one to 2,250,000.

Gilula, an expert on gambling, estimated the probability of the same set of numbers being randomly picked twice a few weeks apart is no higher than one in 4 trillion, or 0.00000000000025.

"Usually, this is the type of numbers they use to describe the probability of life on Mars," Gilula said.

[link to www.ynetnews.com]

 

[Mrkalj]

Israeli lottery defies odds with identical six numbers drawn twice in three weeks
In this section »

* Recession a price Osborne willing to pay to cut deficit
* Basque separatist says he is against return to violence
* French government says refinery strikes will not close airport
* Robinson criticises Israel for continued blockade on Gaza
* Pope canonises nun who exposed paedophile priest
* Crowds demand release of Thai rebel leaders

MARK WEISS in Jerusalem

ISRAEL’S WEEKLY state lottery draw on Saturday drew exactly the same six numbers as the draw three weeks earlier – an event statisticians said was a one-in-four-trillion chance.

Some 125 people guessed the right numbers, but three lucky punters who also correctly guessed the seventh “strong” number each won €800,000.

The numbers that rolled out during the live television broadcast on Saturday night were 36, 33, 32, 26, 14, 13, and the additional “strong” number 2. It did not take long for some viewers to notice these were exactly the ones drawn in the September 21st lottery. The winning numbers then were 13, 14, 26, 32, 33 and 36 – chosen, coincidentally, in the exact reverse order.

Radio stations were flooded with callers yesterday who suspected the draw was rigged. But, as expected, these allegations were denied by officials from Mifal HaPayis, Israel’s national lottery company. “We are in the business of luck, and when it comes to chances and probabilities anything is possible, even the rare and infrequent,” said Dr Chaim Melamed, its statistics expert.

Lottery officials said they were aware of cases from around the world where the same person won the top prize more than once. However, they were not aware of an example of a lottery drawing exactly the same set of six numbers.

Yitzhak Melechson, at the University of Tel Aviv, said the incident of six numbers repeating themselves within a month is an event of once in 10,000 years.

http://www.irishtimes.com/newspaper/world/2010/1018/1224281341526.html

 

[Paganko]

Mani me teorija zavere. Samo čista matematika.

Verovatnoća da se ista kombinacija ponovi 7000 puta je onda:

1 : 15.380.937[sup]7000[/sup] što ja ne mogu nida zapišem na manje od 25 strana sitno kucanog teksta ako koristim decimalni zapis.

Šanse da se ista kombinacija utrefi 3 puta zaredom su: tri sekstilona šest stotina trideset osam kvintiliona sedamsto sedamnaest kvadriliona osamsto trideset osam triliona osamsto osamnaest milijardi sedamsto dvanest miliona trista šenaest hiljada i devetsto pedeset i tri prema jedan.

 

[Mrkalj]

nama deluje da su šane da se dva puta ponovi ista kombinacija manje nego da se dobiju dve različite određene kombinacije. Ovo nije tačno, jer sve loto kombinacije imaju ravnopravnu verovatnoću da se dogode, bez obzira na to da li su već bile izvlačene.

Još jedna napomena se tiče konkretnog slučaja, a to je da kako vreme odmiče, šanse da se ponovi neka od prethodnih kombinacija rastu.

Izvini, Paganko, ja sam u brzini krivo shvatio šta si mislio. Slažemo se.

 

[MathPhysics]

Ja mislim potpuno isto što i Paganko.

Evo opet primer sa kockicom, mada je tipičan, ali ipak dobro ilustruje suštinu. Imamo dva bacanja.
Prvi put dobijamo 5. Da li je veća verovatnoća da će se broj 5 ponoviti, ili da ćemo dobiti broj 2?

Potpuno ista, 1/6 i za jedno i za drugo.Broj mogućih događaja 6, povoljan događaj 1, Laplasova formula daje 1/6. Sasvim jasno.

Zato množimo 1/6*1/6. Da nije tako, tj. da je manje verovatno da ćemo dobiti broj 5 pošto smo ga dobiili prvi put ne bismo množili sa 1/6.

A isti obrazac se dobija iz 1/ broj varijacija sa ponavljanjem 2 klase, tj. 1/36.

Bacanja su nezavisna jedno od drugoga i jedno na drugo ne utiču. Ma šta ja dobio prvi put, drugi put ću dobiti nešto nezavisno od toga što sam dobio prošlog.

Ista je verovatnoća da se dobije kombinacija 5,5 kao i 2,6, 2,4, 6,3 i iznosi 1/3.

Evo napravimo mini igru sa tri kuglice (1,2,3) i izvlačimo dve (nebitno koju prvu).
Potpuno su ravnopravne kombinacije:
-1,2
-1,3
-1,1
-2,3
-2,2
-3,3

Ista je verovatnoća da se, pošto je prvi put izvučeno 1 dobije 1 kao i da se dobije tri.

I ako je u ovoj našoj igri prvi put recimo dobitna bila kombinacija 2,2 i sada se vrši novo izvlačenje, nema veze šta je bilo prvi put, opet su nabrojane kombinacije sve podjednako verovatne, 1/6.

Da mi se ponovi ista kombinacija sada je verovatnoća 1/6 * 1/6 = 1/36.

Ali verovatnoća da će se sad posle 2,2 dobiti 1,3 potpuno je ista i iznosi 1/36.

Kada bismo mnogo puta vršili izvlačenje desilo bi se mnogo ponavljanja, ali kada se sve sumira svi događaji će biti podjednako zastupljeni sa relativnom frekvencijom oko 1/6. Kao što sledi iz onog limesa koji sam naveo, kada x->beskonačno dobiće se 1/6, što i jeste verovatnoća do koje se dolazi pomoću klasične.

/Još jednom napominjem da sve moje poruke na ovoj temi iako se tiču elementarnih stvari treba uzeti sa rezervom, jer nisam mnogo radio sa verovatnoćom i mogao sam u nekom delu napraviti grešku, pa ne garantujem za tačnost svega što sam pisao./

 

[MathPhysics]

Izvini, Paganko, ja sam u brzini krivo shvatio šta si mislio. Slažemo se.

Malo sam zakasnio sa poslednjom porukom, no dobro, bitno da smo se razumeli .

 

[bjdarko]

Ma da, isto kao i u Bugarskoj, i u još jednoj zemlji ali ne mogu da se setim gde još. U zadnje vreme ove slučajnosit su nekako neslučajne! A što tu verovatnoću ne izračunaju da se ponove brojevi na lotou u nekoliko zemalja u kratkom vremenskom periodu! Mora da je neko usavršio one mašine za loto!

 

[Мата Лабор]

Naravno, moguće je i tu je věrovatnoću lako izračunati. Međutim, něke stvari u prirodi se nikada (!) ne dešavaju jer je věrovatnoća da se dese jako mala (nije jednaka nuli!). Tako se npr. nikada neće desiti da zrno soli poskoči sa stola samo od sebe iako bi se, prema zakonu věrovatnoće, u jednom momentu nasumične sile kretanja svih atoma njegovog kristala mogle usměriti u istom pravcu.



Mislim da je MathPhysics to načeo u svojem dugačkom postu koji ću tek pročitati, ali ti sebi postavljaš pogrěšno (logičko) pitanje.

Pitanje ne glasi ovako "Ako smo u bacanju kockice dobili broj tri, kolika je věrovatnoća da se to ponovo desi?" već glasi "Kolika je věrovatnoća da se dvaput zaredom izvuku trojke?" čiji je odgovor (rezultat) identičan odgovoru na pitanje npr. "Kolika je věrovatnoća da u prvom bacanju izvučemo četvorku, a u drugom jedinicu?" Dakle, pitamo za rezultat oba bacanja, a ne za rezultat drugog bacanja. Capisci? U pitanju je, naravno 1/36.

Ko ne věruje něka uzme kockicu i napravi eksperiment.

Naravno, moguće je i tu je věrovatnoću lako izračunati. Međutim, něke stvari u prirodi se nikada (!) ne dešavaju jer je věrovatnoća da se dese jako mala (nije jednaka nuli!). Tako se npr. nikada neće desiti da zrno soli poskoči sa stola samo od sebe iako bi se, prema zakonu věrovatnoće, u jednom momentu nasumične sile kretanja svih atoma njegovog kristala mogle usměriti u istom pravcu.



Mislim da je MathPhysics to načeo u svojem dugačkom postu koji ću tek pročitati, ali ti sebi postavljaš pogrěšno (logičko) pitanje.

Pitanje ne glasi ovako "Ako smo u bacanju kockice dobili broj tri, kolika je věrovatnoća da se to ponovo desi?" već glasi "Kolika je věrovatnoća da se dvaput zaredom izvuku trojke?" čiji je odgovor (rezultat) identičan odgovoru na pitanje npr. "Kolika je věrovatnoća da u prvom bacanju izvučemo četvorku, a u drugom jedinicu?" Dakle, pitamo za rezultat oba bacanja, a ne za rezultat drugog bacanja. Capisci? U pitanju je, naravno 1/36.

Ko ne věruje něka uzme kockicu i napravi eksperiment.

Опет ја.. истражив'о форум па налетео на ову занимљиву дискусију с почетка године...
Читајући постове, чини ми се да је Mrkalj тачно уочио о чему се ту ради: вероватноћа сваке комбинације у сваком извлачењу јесте иста, али је овде реч о томе да се
једна иста комбинација понавља.

Нека имамо Нк подједнако вероватних комбинација. Паганко је израчунао да за српски лото тај број износи (39 над 7) =15,380,937 комбинација.Тада је верoватноћа
сваке комбинације иста и износи п1 = 1/Нк.

Сада, ако имамо два извлачења, интересује нас колика је вероватноћа да се нека комбинација понови. До тог броја се долази следећим резоновањем:
1. вероватноћа да ће једна (рецимо, прва) комбинација бити два пута извучена је п1 * п1
2. комбинација која се понавља може бити како прва, тако и друга, трећа, ... тј. број повољних случајева је Нк.

Стога је вероватноћа да ће се нека (било која) комбинација два пута поновити:

П_иста = Нк * п1 * п1 = Нк * (1/Нк) * (1/Нк) = 1/Нк

Сада би било занимљиво да нађемо и вероватноћу да ће бити извучене две различите комбинације. До тог броја се долази следећим резоновање

1. вероватноћа да ће бити извучене две конкретне комбинације је п1 * п1
2. прву комбинацију можемо бирати на Нк начина, а другу на преосталих (Нк-1)

Стога је вероватноћа да ће се имати две различите комбинације:

П_различите = Нк * (Нк-1) * п1 * п1 = Нк * (Нк-1) * (1/Нк) * (1/Нк) = 1 - 1/Нк

Сада, ако се стави да је Нк = 15,380,937, добија се:

П_иста = 1/Нк = 1/15,380,937 = 6.5e-8

П_различите = 1 - 1/Нк = 0.99999993498

Горе наведено је оптимистичан случај када се дозвољава да се било која комбинација може поновити два пута. Ако се ухватимо за неку конкретну комбинацију, бројке су следеће:

Узмимо једну конкретну комбинацију од Нк могућих. Вероватноћа да ће се баш та комбинација остварити и у првом и у другом извлачењу је:

Пк_иста = п1 * п1 = (1/Нк) * (1/Нк) = 1/Нк^2


Вероватноћа да ће се та комбинација реализовати у првом, али не и у другом извлачењу се одређује на основу резоновања да је за друго извлачење број "повољних"

случајева (Нк-1), тј. све комбинације осим оне задате су "повољне", па је онда:


Пк_различите = п1 * (Нк-1) * п1 = (1/Нк) * (Нк-1) * (1/Нк) = 1/Нк - 1/Нк^2

[Провера: збир Пк_иста + Пк_различите = 1/Нк, јер је то заправо вероватноћа догађаја да прва комбинација буде нека задата, а друга комбинација било која (било та

задата било различита).]

Кад се замене бројкице:
вероватноћа да се конкретна комбинација понови је:
Пк_иста = 1/Нк^2 = 1/15,380,937^2 = 4.22e-15

a вероватноћа да друга извучена комбинација буде различита од ње је:

Пк_различите = 1/Нк - 1/Нк^2 = 1/15,380,937 - 1/15,380,937^2 = 6.5e-8

Сада се види да се у оба случаја вероватноће разликују за 8 редова величина, тј. вероватноћа понављања неке комбинације у два узастопна извлачења је 100,000,000 (сто милиона)

пута мања од вероватноће да се реализују различите комбинације.

Стога бих се ипак пре кладио на догађај да ће друга извучена комбинација бити различита од претходне!