Faktorijel realnog broja ?!

[Paganko]

Ovakve stvari me uvek oduseve u matematici. Naime:

Svi (ili srecna vecina) zna sta je faktorijel:

n! = n*(n-1)*(n-2)*....*(n-n+1)

sto ce reci:

5!=5*4*3*2*1=120
6!=6*5*4*3*2*1=720

i tako dalje. Prva cudna stvar je:

0! = 1

a i to se lako dokazuje:

ako je n!=n*(n-1)! onda je i 1!= 1*0! = 1

Medjutim odmah se namece pitanje sta ako n nije prirodan broj. Mislim kako moze npr:

2.34! ili 0.5! ili sta god vec.... Neki bi odma rekli, pa to nije moguce. n mora biti prirodan broj. Na srecu Leonard Ojler ne misli tako pa uvodi sledecu funkciju:

evo i njenog grafika ako je z realna promenjiva:

i grafika ako je z kompleksna promenjiva



Ova funkcija prosiruje faktorijelnu formulu na skup svih realnih (ali i kompleksnih) brojeva jer za z=n vazi:

Γ(n+1) = (n )!

Tako je sad moguce uzeti bilo koji realan broj x i jednostavno izracunati vrednost gamma funcije za x+1.

 

[starolecanin]

Pa da Gde si ovo iskopao, crni kolega

 

[Кулиража]

Beeeep te Ojler. Preseo mi je jun pre dve godine zbog njega.

 

[Paganko]

Pa da Gde si ovo iskopao, crni kolega

Pa pogadjaj.... Kod necelih izvoda.

 

[RaiN^^]

i tako dalje. Prva cudna stvar je:

0! = 1

a i to se lako dokazuje:

ako je n!=n*(n-1)! onda je i 1!= 1*0! = 1

a nesto mi nije jasno...ipak ja sam tek sad poceo da se bavim sa faktorielom ... al ako je 0!=0*(0-1)=0*(-1)=i mene su ucili da je to 0 al sam i na digitronu primetio da je to jedan...kao i sa 1!...mozda je glupo al ne razumem kako se dolazi do toga ???

 

[Paganko]

a nesto mi nije jasno...ipak ja sam tek sad poceo da se bavim sa faktorielom ... al ako je 0!=0*(0-1)=0*(-1)=i mene su ucili da je to 0 al sam i na digitronu primetio da je to jedan...kao i sa 1!...mozda je glupo al ne razumem kako se dolazi do toga ???

recimo da je po dogovoru tako....

 

[RaiN^^]

aha sad mi je vec jasnije xD hvala

 

[Paganko]

ljudi se dogovorili da je 0! = 1 da nije tako, imali bi prilicnih problema sa svim formulama koje uvrstavaju faktorski racun. mozda nadjem negde i neko preciznije objasnjenje.

http://wiki.answers.com/Q/Why_is_zero_factorial_equal_to_one

 

[lightm]

To nije slucaj samo sa faktorielom. Isto je na primer stepenovanje nulom. I jedno i drugo potice od "praznog proizvoda" koji je 1. Prazan proizvod je proizvod brojeva iz praznog skupa. Objasnjenje je otprilike ovako: kada imamo skup sa vise brojeva njegov proizvod se dobija kada se pmnozi prvi broj sa drugim, pa dobijeni rezultat sa trecim i ako dalje. Kada skup ima samo jedan element onda je taj broj jednak proizvodu. Ako imamo skup sa N brojeva i njegov proizvod je P, onda skupu dodamo jos jedan broj M, proizvod novog skupa je PxM. Da bi opsta formula vazila i za jednoclani skup onda proizvod praznog skupa mora da bude jednak neutralnom elementu za mnozenje isto kao sto je suma praznog skupa jednaka 0 (a onda se i veza izmedju sume i zbira lepo uklopa preko logaritma).
Ponekad moze da se da i kombinatorno objasnjenje - postoji samo jedan nacin da se rasporede elementi praznog skupa.

 

[Paganko]

To nije slucaj samo sa faktorielom. Isto je na primer stepenovanje nulom. I jedno i drugo potice od "praznog proizvoda" koji je 1. Prazan proizvod je proizvod brojeva iz praznog skupa. Objasnjenje je otprilike ovako: kada imamo skup sa vise brojeva njegov proizvod se dobija kada se pmnozi prvi broj sa drugim, pa dobijeni rezultat sa trecim i ako dalje. Kada skup ima samo jedan element onda je taj broj jednak proizvodu. Ako imamo skup sa N brojeva i njegov proizvod je P, onda skupu dodamo jos jedan broj M, proizvod novog skupa je PxM. Da bi opsta formula vazila i za jednoclani skup onda proizvod praznog skupa mora da bude jednak neutralnom elementu za mnozenje isto kao sto je suma praznog skupa jednaka 0 (a onda se i veza izmedju sume i zbira lepo uklopa preko logaritma).
Ponekad moze da se da i kombinatorno objasnjenje - postoji samo jedan nacin da se rasporede elementi praznog skupa.

ja sam razumeo sta hoces da kazes. ali sumnjam da ce biti jos puno srecnika te vrste.