Quantcast

Faktorijel realnog broja ?!

Paganko

Elita
Poruka
16.644
Ovakve stvari me uvek oduseve u matematici. Naime:

Svi (ili srecna vecina) zna sta je faktorijel:

n! = n*(n-1)*(n-2)*....*(n-n+1)

sto ce reci:

5!=5*4*3*2*1=120
6!=6*5*4*3*2*1=720

i tako dalje. Prva cudna stvar je:

0! = 1

a i to se lako dokazuje:

ako je n!=n*(n-1)! onda je i 1!= 1*0! = 1

Medjutim odmah se namece pitanje sta ako n nije prirodan broj. Mislim kako moze npr:

2.34! ili 0.5! ili sta god vec.... Neki bi odma rekli, pa to nije moguce. n mora biti prirodan broj. Na srecu Leonard Ojler ne misli tako pa uvodi sledecu funkciju:



evo i njenog grafika ako je z realna promenjiva:



i grafika ako je z kompleksna promenjiva



Ova funkcija prosiruje faktorijelnu formulu na skup svih realnih (ali i kompleksnih) brojeva jer za z=n vazi:

Γ(n+1) = (n )!

Tako je sad moguce uzeti bilo koji realan broj x i jednostavno izracunati vrednost gamma funcije za x+1.
 

lightm

Primećen član
Poruka
793
To nije slucaj samo sa faktorielom. Isto je na primer stepenovanje nulom. I jedno i drugo potice od "praznog proizvoda" koji je 1. Prazan proizvod je proizvod brojeva iz praznog skupa. Objasnjenje je otprilike ovako: kada imamo skup sa vise brojeva njegov proizvod se dobija kada se pmnozi prvi broj sa drugim, pa dobijeni rezultat sa trecim i ako dalje. Kada skup ima samo jedan element onda je taj broj jednak proizvodu. Ako imamo skup sa N brojeva i njegov proizvod je P, onda skupu dodamo jos jedan broj M, proizvod novog skupa je PxM. Da bi opsta formula vazila i za jednoclani skup onda proizvod praznog skupa mora da bude jednak neutralnom elementu za mnozenje isto kao sto je suma praznog skupa jednaka 0 (a onda se i veza izmedju sume i zbira lepo uklopa preko logaritma).
Ponekad moze da se da i kombinatorno objasnjenje - postoji samo jedan nacin da se rasporede elementi praznog skupa.
 

Paganko

Elita
Poruka
16.644
To nije slucaj samo sa faktorielom. Isto je na primer stepenovanje nulom. I jedno i drugo potice od "praznog proizvoda" koji je 1. Prazan proizvod je proizvod brojeva iz praznog skupa. Objasnjenje je otprilike ovako: kada imamo skup sa vise brojeva njegov proizvod se dobija kada se pmnozi prvi broj sa drugim, pa dobijeni rezultat sa trecim i ako dalje. Kada skup ima samo jedan element onda je taj broj jednak proizvodu. Ako imamo skup sa N brojeva i njegov proizvod je P, onda skupu dodamo jos jedan broj M, proizvod novog skupa je PxM. Da bi opsta formula vazila i za jednoclani skup onda proizvod praznog skupa mora da bude jednak neutralnom elementu za mnozenje isto kao sto je suma praznog skupa jednaka 0 (a onda se i veza izmedju sume i zbira lepo uklopa preko logaritma).
Ponekad moze da se da i kombinatorno objasnjenje - postoji samo jedan nacin da se rasporede elementi praznog skupa.
ja sam razumeo sta hoces da kazes. ali sumnjam da ce biti jos puno srecnika te vrste.
 

Top
  Blokirali ste reklame
Dragi prijatelju, nemojte da blokirate reklame - isključite Ad Blocker na Forumu, jer će tako mesto vaših susreta na Krstarici ostati besplatno za korišćenje.