Pretpostavljam da ne znas za Paskalov trougao, tako da bi mozda trebalo da ti objasnim i njega, kako bi ti u buduce bilo lakse da racunas polinome nekog veceg stepena.
Paskalov trougao:
Poenta je u sledecem. Krece se od jedinice, a zatim se siri tako sto se gornja dva broja saberu i dobije se donji. Otprilike to ovako izgleda:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
i tako dalje (na zalost, nije lepo ispao ovde, pa ti skapiraj kao jednakostranicni trougao i tako nacrtaj). Dakle, mozes da uocis da svaki donji broj izmedju dva gornja broja je u stvari njihov zbir. A sada se pitas cemu sve to sluzi... Zadato ti je npr. da izracunas (a+b)^5, a ti pomislis da ce to da traje godinama. E pa ne, ovaj trougao olaksava ceo taj postupak. Sada ti ja kazem da je to
(a+b)^5 = a^5 + 5*a^4*b + 10*a^3* b^2 + 10*a^2* b^3 + 5*a* b^4 + b^5
Ok, odakle meni ovo?
Treci red u trouglu nam npr. kaze da su to koeficijenti ispred promenljivih za kvadratni stepen, tj. (a+b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 (kao sto vidis ispred a^2 je koeficijent 1, ispred a*b je 2 koeficijent, ispred b^2 je takodje 1)
Isto tako bi bilo i za treci stepen, za cetvrti i sl.
(a+b)^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2* b^2 + 4*a* b^3 + b^4 (vidis koeficijente: 1 4 6 4 1)
Zakljucak: treci red je za stepen 2, cetvrti za stepen 3, peti za stepen 4 i tako redom, moze u nedogled... A takodje se stepeni prve promenljive smanjuju s leva na desno, a druge promenljive se povecavaju s leva na desno. Pogledaj malo ovo sto sam napisala, pa ako ti nije jasno pitaj me.
Jos nesto, ako ti se trazi (a-b)^4, ne mozemo da pisemo pluseve izmedju koeficijenata kao sto smo u slucaju sabiranja, vec ce biti naizmenicno - + - + - … (pocinje se uvek od minusa)
Znaci, potpuno isto kao u slucaju sabiranja, samo vodimo racuna o znakovima + i –
Bice, (a-b)^4 = a^4 - 4*a^3*b + 6*a^2* b^2 - 4*a* b^3 + b^4
Ok, ako si ovo savladala, mogu da ti objasnim zadatak koji si mi trazila.
Imas polinom P(x) = 2*x^5 - 3*x^3 + 2*x – 7 i treba da ga napises u obliku
a5*(x-a)^5 + a4*(x-a)^4 + a3*(x-a)^3 + a2*(x-a)^2 + a1*(x-a) + a0
U prvom slucaju dato ti je a=2. Dakle, zamenicemo u zagradi svuda gde se pojavljuje a sa 2.
a5*(x-2)^5 + a4*(x-2)^4 + a3*(x-2)^3 + a2*(x-2)^2 + a1*(x-2) + a0.
Sta nama preostaje? Pa da izracunamo koeficijente a5, a4, a3, a2, a1 i a0. Da bismo njih izracunali moramo da izracunamo i koliko su ovi stepenovi. Pa, kao sto sam ti gore napisala, primenicemo Paskalov trougao.
(x-2)^2 = x^2 - 2*x*2 + 2^2 = x^2 - 4*x + 4
(x-2)^3 = x^3 - 3*x^2*2 + 3*x*2^2 - 2^3 = x^3 - 6*x^2 + 12*x - 8
(x-2)^4 = x^4 - 4*x^3*2 + 6*x^2* 2^2 - 4*x* 2^3 + 2^4 = x^4 - 8*x^3 + 24*x^2 - 32*x + 16
(x-2)^5 = x^5 - 5*x^4*2 + 10*x^3*2^2 - 10*x^2* 2^3 + 5*x* 2^4 - 2^5 = x^5 - 10*x^4 + 40*x^3 - 80*x^2 + 80*x – 32
Pisala sam ti postupno kako bi razumela Paskalov trougao, jer ovde se bas vidi njegova primena, a i sve ono sto sam ti gore objasnila mozes da vidis ovde i kroz primer.
Nastavak zadatka... Posto smo dobili koliko su izrazi u zagradama, sada mozemo da zamenimo sve to. To bi izgledalo ovako:
a5*(x-2)^5 + a4*(x-2)^4 + a3*(x-2)^3 + a2*(x-2)^2 + a1*(x-2) + a0 =
a5*(x^5 - 10*x^4 + 40*x^3 - 80*x^2 + 80*x – 32) + a4*(x^4 - 8*x^3 + 24*x^2 - 32*x + 16) + a3*( x^3 - 6*x^2 + 12*x – 8) + a2*( x^2 - 4*x + 4) + a1*(x-2) + a0
Ako bismo poceli sve da mnozimo bez nekog reda, kako bismo se oslobodili zagrada, nista necemo postici. Zato moramo da grupisemo uz stepene promenljive x sve po redu.
Uz x^5 imamo koeficijent a5 i ni jedan vise, uz x^4 imamo -10*a5 i a4, pa tako redom. To izgleda ovako kada se oslobodimo zagrade:
x^5 * a5 +
x^4 * (-10*a5 + a4) +
x^3 * (40*a5 – 8*a4 + a3) +
x^2 * (-80*a5 + 24*a4 – 6*a3 + a2) +
x * (80*a5 -32*a4 +12*a3 – 4*a2 + a1) +
(-32*a5 +16*a4 – 8*a3 + 4*a2 – 2*a1 + a0)
Pisala sam jedno ispod drugog kako bi ti bilo preglednije, inace sve se pise u jednom redu (zato sam i stavljala znak plus na kraju svakog reda).
Sada bi trebalo ovaj dobijeni polinom da izjednacimo sa datim P(x) kako bismo dobili trazene koeficijente. To izgleda ovako:
x^5 * a5 + x^4 * (-10*a5 + a4) + x^3 * (40*a5 – 8*a4 + a3) + x^2 * (-80*a5 + 24*a4 – 6*a3 + a2) + x * (80*a5 -32*a4 +12*a3 – 4*a2 + a1) + (-32*a5 +16*a4 – 8*a3 + 4*a2 – 2*a1 + a0) = 2*x^5 - 3*x^3 + 2*x – 7
Kao sto mozes da vidis, i jedan i drugi imaju x^5, x^3 i x. Izjednacavnje nam kaze:
Uz x^5 na levoj strani je a5, a na desnoj strani je 2. Odatle zakljucujemo da je a5=2. Dalje, na levoj strani uz x^4 je (-10*a5 + a4), a na desnoj nemamo x^4, sto znaci da treba (-10*a5 + a4) da izjednacimo sa 0 (nulom). Odatle dobijamo da je -10*a5 + a4 = 0, a znamo da je a5=2, pa kada zamenimo dobicemo da je a4=20. Isto tako imamo sledece jednacine:
40*a5 – 8*a4 + a3 = -3 (posto sa leve strane uz x^3 je 40*a5 – 8*a4 + a3, a sa desne je -3)
-80*a5 + 24*a4 – 6*a3 + a2 = 0 (posto na desnoj strani nemamo x^2)
80*a5 -32*a4 +12*a3 – 4*a2 + a1 = 2
-32*a5 +16*a4 – 8*a3 + 4*a2 – 2*a1 + a0 = -7
Krenes da zamenjujes a5 i a4, posto smo vec izracunali, pa je a3=77, zatim u sledecoj jednacini zamenis sve i dobijes a2=142, potom u sledecoj a1=126 i a0=37.
Dakle, resenje je 2*(x-2)^5 + 20*(x-2)^4 + 77*(x-2)^3 + 142*(x-2)^2 + 126*(x-2) + 37.
Na isti nacin mozes da izracunas i kada je a = -2 i a = 1
Za a = 1 resenje ti je 2*(x-1)^5 + 10*(x-1)^4 + 17*(x-1)^3 + 11*(x-1)^2 + 3*(x-1) - 6.
Nadam se da je bilo razumljivo :wink: