Poenta sa matricama je da su one uvedene da bi proučavao linearne transformacije. Recimo da imaš n nekih veličina x i m nekih veličina y[j] i neka ove veličine y[j] možeš da izraziš preko veličina x na sledeći način:
y[1]=a[1][1]x[1]+a[1][2]x[2]+...+a[1][n]x[n]
y[2]=a[2][1]x[1]+a[2][2]x[2]+...+a[2][n]x[n]
.
.
.
y[m]=a[m][1]x[1]+a[m][2]x[2]+...+a[m][n]x[n]
ili kraće y[j]=suma(od i=1 do i=n)a[j]x i j=(1,2,...,m)
gde su a[j] koeficijenti linearne transformacije. Iz gornjeg možeš da vidiš da se oni mogu poređati u pravougaonu šemu koju zovemo matricom.
Tada ovo možeš napisati u matričnoj formi Y=A*X gde su Y i X matrice kolone sa elementima y[j] i x a A matrica koeficijenata.
Neka imamo sada nekih p nekih veličina z[k] koji se preko y[j] mogu izraziti
z[1]=b[1][1]y[1]+b[1][2]y[2]+...+b[1][m]y[m]
z[2]=b[2][1]y[1]+b[2][2]y[2]+...+b[2][m]y[m]
.
.
.
z[p]=b[p][1]y[1]+b[p][2]y[2]+...+b[p][m]y[m]
ili kraće z[k]=suma(od j=1 do j=m)b[k][j]y[j] i k=(1,2,...,p) ili Z=B*Y.
Izrazimo sada y[j] preko x u ubacimo u gornju jednačinu
z[k]=suma(od j=1 do j=m)b[k][j]((suma(od i=1 do i=n)a[j]x). Ako promenimo redosled sumiranja
z[k]=suma(od i=1 do i=n)suma(od j=1 do j=m)b[k][j]*a[j]x vidimo da između veličina z[k] i x postoji takođe linearna transformacija ca koeficijentaima c[k]=suma(od i=1 do i=n)suma(od j=1 do j=m)b[k][j]*a[j] što je uzeto za definiciju množenja matrica sa A i B, tako da kompozicije linearnih transformacija možeš da pišeš prosto sa Z=A*B*C*.....*X ili koliko ih već imaš.
Pojam determinante se pojavio kod ispitivanja invertibilnosti linearnih transformacija. To je sada previše široka priča za ovo mesto, ali suština je da ako je determinanta matrice 0, onda nemaš inverznu linearnu transformaciju. Pošto su sistemi linearnih jendačina u stvari linearne transformacije, cela ova teorija se primenjuje na njihovo rešavanje. Ako ti nešto nije jasno, kaži konkretno šta je u pitanju pa ću probati da ti odgovorim.
