imam ja 2 pitanja:
1) shta su kramerove formule?
2) kako se radi sistem:
2x-y+3z=0
x+2y-5z=0
3x+y-2z=0
Kramerove formule su ti formule za resavanje sistema jednacina metodom determinante, samo im je to mnogo dugo pa ih oni zovu Kramerovim formulama to ti je :
x=D[SUB]x[/SUB]/D
y=D[SUB]y[/SUB]/D
za sistem sa dve nepoznate , odnosno:
x=D[SUB]x[/SUB]/D
y=D[SUB]y[/SUB]/D
z=D[SUB]z[/SUB]/D
za sistem sa tri nepoznate i tako dalje .
Medjutim ono na sta treba da obratis paznju je sledece, (ovo je tipicna caka, upamti) , kada posle znaka jednakosti "=" u sistemu, posle svake jedinacine imas nulu "0" uvek znas da ovaj sistem ima sigurno tzv trivijalno resenje, odnosno da je resenje (x,y,z)=(0,0,0) i ovakav sistem se zove homogenim , proverom videces da je stvarno (0,0,0) resenje sistema , medjutim ne mozes jos uvek sa sigurnoscu da kazes da je ovo i jedino resenje . Elem, kod ovakvog sistema
NE SMES raditi kramerovim formulama !! Zapravo smes, ali neces nista dobiti . Probaj i videces zasto (U deliocu ceti se javiti nula sto je matematicki corsokak, nema dalje (Misli se na delioc u kramerovim formulama odnosno D, ono ce uvek da bude jednako nuli kod ovakvog sistema) . Dakle , jedno resenje je sigurno 0, ostala resenja ako ih ima treba naci nekim drugim putem, najpreporucljiviji je Gausov metod ili metod suprotnih koeficijenata. Ajde da vidimo sve metode:
1) Metod zamene
Klasika, ako nista ne znas iz matematike ovo ti je pravi izbor, tipicno sljakanje . Iz jedne jedinacine izrazis jedno nepoznatu npr x . Isto uradis i za drugu jedinacinu, i onda tu nepoznatu u nasem slucaju x, zamenis u trecu jednacinu, tako da dobijes samo dve jednacine sa dve nepoznate koja je resiva . Evo na tvom primeru:
Iz (1) kazes : x=(y+3z)/2
Iz (3) kazes : x=(2z-y)/3
I onda ove unacis u (2) , odnosno formiras novi sistem ali sa dve nepoznate cime si skratio sebi posao :
(y+3z)/2 + 2y - 5z=0 ... (1) "Nova prva jednacina"
(2z-y)/3 + 2y - 5z =0 ... (2) "Nova druga jednacina"
I sad resavas ove dve, prvu pomnozis sa 2 a drugu sa 3 da bi se uslobodio razlomka, dobijamo:
y+3z + 4y - 10z = 0
2z-y + 6y - 15z =0
_____________________
5y - 7z = 0
-5y + 13z = 0
______________________
Ako i dalje zelis da sljakas odnosno da koristis metod zamene kazes, iz prve jedinacine vidim da je 5y=7z zamenimo to u donjoj:
-7z +13z = 0
6z=0
z=0
5y=7z => y=0 (Vratili smo "smenu")
x=(y+3z)/2 => z=(0+0)/2=0
Voila i ovim nacimon dobijamo vec predvidjena resenja odnosno (x,y,z) = (0,0,0)
2)
Gausov metod (Metod suprotnih koeficijenata) , se svodi na sledece:
2x-y+3z=0
x+2y-5z=0
3x+y-2z=0
Uvidis neku promenjivu , prvu koja ti padne na pamet u dve razlicite jednacine, recimo prvu i drugu (mada je logicnije prvu i trecu ali ipak cemo prvu i drugu, resenje ce biti isto) . Recimo prmonjevia y . U prvoj ti uz y stoji -1, jel ? A u drugoj tu uz y stoji +2 . Suprotni koeficijetni je metod gde cele jednacine iz sistema mnozis onim brojem tako da se unapred odabrane promenjive krate prilikom sabiranja . U nasem slucaju prvo treba pomnoziti samo sa 2 (da bi uz y stajala -2, jer vec imamo +2 u drugoj i onda +2-2=0) a drugu ne treba dirati . Uradimo to:
2x-y+3z=0 / *2
x+2y-5z=0
3x+y-2z=0
___________
4x -2y + 6z=0
x+2y-5z=0
Sada ih saberemo , koristeci sledecu logiku:
2 + 1 = 3
4 + 5 = 9
==>
2+1+4+5=3+9
12=12
Odnosno sabiramo levu sa levom i desnu sa desnom stranom:
4x + x -2y + 2y +6z -5z=0
5x +z =0 Kao sto vidis nema y-ona, dakle to je poenta, osloboditi se jedne nepoznate i svesti sistem od tri jednacine na sistem od dve jednacine . Dakle nasli smo jednu "vezu" izmedju x i z , sada nam treba druga . Kako smo ovde kombinovali prvu i drugu jednacinu
sada moramo neke druge dve i isto sa eliminacijom y-ona, ovo je vrlo vazno . Recimo drugu i trecu:
x+2y-5z=0
3x+y-2z=0
Logicno je da treba trecu odnosno ovde drugu, pomnoziti sa -2 =>
x+2y-5z=0
-6x-2y+4z=0
Saberemo ih:
-5x - z =0
5x+z=0 Corsokak opet smo dobili istu jednacinu
Hajde da probamo sad prvu i trecu :
2x-y+3z=0
3x+y-2z=0
Nema potrebe za mnozenjem jer vec imamo +y i -y =>
5x + z = 0 I ovde dobijam istu jednacnu . Sad se covek zapita kako ovo da resi . Pa ovaj sistem uvek je isti za bilo koje vrednosti x,y,z dok god odgovara veza 5x + z = 0 . Znaci ovim (dobijanjem iste jedinacine praveci kombinacije 1-2 , 2-3, 1-3 jednacine) smo dokazali da sistem ima beskonacno mnogo resenja odnosno da je neodredjen . Tj za svaku vrednost broja x uvek mozes naci vrednost y i z koja ce da odgovara svim jednacinama ovog sistema . Mozes kao resenje napisati da je sistem neodredjen i da tako ostavis, ali secajuci kako je to Vene radio, mislim krajnje glupo ali ajde da napomenem mozda ceti traziti . On je kao rekao x uzima vrednost neko broja t pa kazes, kako je 5x+z=0 => z=-5z=> z=-5t
I kako je 2x-y+3z=0 (prva jednacina sistema) onda vazi 2t - y + 3z = 0 i ako ovde dodam da je z=-5t onda je 2t - y +3*(-5t)=0 odnosno y=-15t+2t=-13t Pa je resenje sistema
(x,y,z)=(t,-13t,-5t) Odnosno za svako x mozes naci y i z . Ako je x=2 (t=2) znas da je y=-26 a z=-10 , ako je x=3 znaces da je y=-39 a z=-15 i tako mozes u beskonacnost da "setas" x i uvek ce imati beskonacno mnogo resenja .
3)
Metod determinatni meni omiljeni metod
Imas:
2x-y+3z=0
x+2y-5z=0
3x+y-2z=0
Koeficijetni ovih jednacina obrazuju jednu determinatnu, tri nepoznate znaci determinanta treceg reda, dve nepoznate deerminante drugog reda, a generalno n nepoznatih znaci determinanta n-tog reda .
"Glavna" determinanta je determinanta sa koeficijentima ispred znaka jednakosti odnosno
D= 2 -1 3 / 1 2 -5 / 3 1 -2 (Nadam se da razumes)
Determinta Dx se dobije kada svuda umesto koeficijenata uz x u glavnoj determinanti zamenis brojem posle znaka jednakosti u nasem slucaju 0 .
Dakle umesto 2,1,3 pises 0,0,0 i dobijes
Dx= 0 -1 3 / 0 2 -5/ 0 1 -2 Kako imas tri vezane nule u jednoj kolini sigurno je vrednost Dx=0 bez racunjana (Isto vazi ako imas tri vezane nule u jednom redom ali ne i po dijagonali ) Naravno za determinantu n-tog reda moras imati n vezanih nula u redu odnosno koloni .
Stoga lako zalkjucujemo da je Dy, Dz= 0
I tu pocinje diskusija sistema:
Ako je D <> (razlicito) 0 onda sistem ima jedinstveno resenje odnosno
x=Dx/D y=Dy/D z=Dz/D odnosno primenis Kramerove formule za dobijanje resenja
Ako je D=0 onda imas dve mogucnosti:
1) Ako je Dx=Dy=Dz=0 onda je sistem neodredjen (Nas primer) ali za svaki slucaj treba odraditi Gausov metod jer se desava da ima jos neko resenje neprevidjeno ovim, dakle ovo je samo da znas na cemu si , a Gausov metod ce videti da li imas jos neko resenje .
2) Ako je barem jedan od Dx, Dy, Dz razlicit od nule onda je sistem nemoguc .
4)
Graficko resavanje Ovo je neprakticno za ono sto tebi treba i sastoji je u crtanju jednacina prava u koordinatni sistem i onda se trazi presek pravih kao resenje, ali on je za nas nebitan ali ga treba napomenuti .